概率统计教程 v2

基于南京工业大学 2022–2026 年 5 套真题 + 豆包视觉模型精确 OCR 识别整理
纯教学内容，面向零基础学习者

考试概况

题型分值说明
选择题12–15分（3分×4–5题）基础概念
填空题15–18分（3分×5–6空）计算能力
计算证明题65–73分（6–8题）综合应用

第一章：随机事件与概率

★★★★★ 每套必考 — 选择、填空、第一道大题均有覆盖

1.1 基本概念

随机试验的三个条件

  1. 可在相同条件下重复进行
  2. 事先知道所有可能结果
  3. 试验前不能确定哪个结果会出现

样本空间 $\Omega$ — 所有可能结果的集合。随机事件 — $\Omega$ 的子集。

事件关系与运算

关系符号含义
包含$A\subset B$$A$ 发生 ⇒ $B$ 发生
和（并）$A\cup B$$A,B$ 至少一个发生
积（交）$A\cap B$ 或 $AB$$A,B$ 同时发生
差$A-B$$A$ 发生而 $B$ 不发生
互斥$AB=\varnothing$不能同时发生
对立$\overline{A}$$A$ 不发生

De Morgan 律（必须牢记）

$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$
$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$

1.2 概率的定义与性质

公理化定义

对每个事件 $A$ 赋实数 $P(A)$，满足：非负性 $P(A)\geq0$；规范性 $P(\Omega)=1$；可列可加性——对两两互斥事件，$P(\cup A_i)=\sum P(A_i)$。

加法公式（核心）：

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

1.3 古典概型

$P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}=\dfrac{\text{有利样本点数}}{\text{样本点总数}}$

名称公式说明
排列$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$n$ 取 $k$，有序
组合$C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$n$ 取 $k$，无序

真题（2022-2023 选择 1）

1~100 中等可能取数，能被 7 或 15 整除的概率？

7 的倍数 14 个，15 的倍数 6 个，公倍数 0 个。$P=(14+6)/100=0.2$。选 D。

真题（2022-2023 填空 1）

两封信投入 4 个邮筒，两个邮筒各有一封信的概率？

总情况 $4^2=16$。有利：$C_4^2\times2!=12$。$p=12/16=3/4$。

1.4 条件概率

$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}\quad(P(A)>0)$

乘法公式：$P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$

真题（2023-2024 填空 1）

$P(A)=\frac14$, $P(B|A)=\frac13$, $P(A|B)=\frac12$。求 $P(B)$ 和 $P(A\cup B)$。

$P(AB)=P(A)P(B|A)=\frac14\times\frac13=\frac1{12}$。$P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}=\frac{1/12}{1/2}=\frac16$。$P(A\cup B)=\frac14+\frac16-\frac1{12}=\frac13$。

1.5 全概率公式与贝叶斯公式

⚠️ 超高频考点 — 每套必考计算大题（~10分）

这是整门课最重要、最固定的计算题型。

全概率公式

$P(A)=\sum_{i=1}^n P(B_i)\cdot P(A|B_i)$

「化整为零」——把复杂事件的概率分解为条件概率的加权平均。

贝叶斯公式

$P(B_i|A)=\dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_j P(B_j)P(A|B_j)}$

「由果索因」——已知结果 $A$，反推原因 $B_i$ 的概率。

真题（2025-2026，两套均考）

病树主人外出。不浇水树死率 0.8，浇水树死率 0.15。邻居 90% 概率记得浇水。求：(1) 树活着的概率；(2) 树已死时邻居忘记浇水的概率。

设 $W$=记得浇水，$A$=树活着。$P(W)=0.9$, $P(\overline{W})=0.1$。
$P(A|W)=0.85$, $P(A|\overline{W})=0.2$。

(1) 全概率：$P(A)=0.85\times0.9+0.2\times0.1=\mathbf{0.785}$。
(2) 贝叶斯：$P(\overline{W}|\overline{A})=\frac{0.8\times0.1}{1-0.785}\approx\mathbf{0.372}$。

真题（2022-2023 第三题，10分）

电压 $X\sim N(220,25^2)$。$\leq200$V 损坏率 0.1，200~240V 损坏率 0.001，$\geq240$V 损坏率 0.2。$\Phi(0.8)=0.788$。

$P(A_1)=\Phi(-0.8)=0.212$, $P(A_2)=\Phi(0.8)-\Phi(-0.8)=0.576$, $P(A_3)=0.212$。
(1) $P(B)=0.212\times0.1+0.576\times0.001+0.212\times0.2=\mathbf{0.0642}$。
(2) $P(A_2|B)=\frac{0.576\times0.001}{0.0642}\approx\mathbf{0.009}$。

1.6 事件的独立性

$A$ 与 $B$ 独立 ⇔ $P(AB)=P(A)P(B)$。

独立 ≠ 互斥：互斥是 $P(AB)=0$，独立是 $P(AB)=P(A)P(B)$。两者一般不共存。

第二章：随机变量及其分布

★★★★★ 核心章节

2.1 随机变量与分布函数

分布函数 $F(x)=P\{X\leq x\}$：单调不减、$F(-\infty)=0$、$F(+\infty)=1$、右连续。$P\{a

2.2 离散型随机变量

分布律 $P\{X=x_k\}=p_k$，$p_k\geq0$，$\sum p_k=1$。

常见离散型分布

分布分布律/记号$EX$$DX$
$0$-$1$ 分布$P(X=1)=p$$p$$p(1-p)$
二项分布$B(n,p)$: $P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$$np$$np(1-p)$
泊松分布$P(\lambda)$: $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$\lambda$$\lambda$
几何分布$Ge(p)$: $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$$1/p$$(1-p)/p^2$

真题（2024-2025 选择 4）

$X\sim B(2,p)$, $Y\sim B(4,p)$, $P\{X\geq1\}=5/9$，求 $P\{Y\geq1\}$。

$P\{X\geq1\}=1-(1-p)^2=5/9\Rightarrow p=1/3$。$P\{Y\geq1\}=1-(2/3)^4=\mathbf{65/81}$。选 B。

2.3 连续型随机变量

均匀分布 $U(a,b)$

$f(x)=\frac{1}{b-a}\;(a\leq x\leq b)$，$EX=\frac{a+b}{2}$，$DX=\frac{(b-a)^2}{12}$。

指数分布 $Exp(\lambda)$

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\;(x>0)$，$EX=1/\lambda$，$DX=1/\lambda^2$。无记忆性：$P\{X>s+t\mid X>s\}=P\{X>t\}$。

真题（2023-2024 第四题，12分）

$f(x)=\frac13e^{-x/3}(x>0)$。超 9 分钟离开。(1) $P$(离开)；(2) 5 次去银行，$P(Y=0)$；(3) $Z=\sqrt{X}$ 的密度。

(1) $P\{X>9\}=e^{-3}$。(2) $Y\sim B(5,e^{-3})$, $P\{Y=0\}=(1-e^{-3})^5$。
(3) $F_Z(z)=F_X(z^2)$, $f_Z(z)=2zf_X(z^2)=\frac{2z}{3}e^{-z^2/3},z>0$。

正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ — 最重要！

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$，$EX=\mu$，$DX=\sigma^2$

标准化：$X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$

$P\{X\leq a\}=\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$

高频查表值（建议记忆）

$\Phi(1.96)=0.975$，$\Phi(1.667)=0.952$，$\Phi(2)=0.977$，$\Phi(0.8)=0.788$，$\Phi(0)=0.5$

2.4 随机变量函数的分布

公式法（单调函数）：$y=g(x)$ 严格单调，$x=h(y)$ 为反函数，则：

$f_Y(y)=f_X(h(y))\cdot|h'(y)|$

真题（2025-2026 阶段考 填空 2）

$X\sim U(0,2)$, $Y=X^2$, 求 $f_Y(y)$ ($0

$f_X(x)=1/2$。$y=x^2\Rightarrow x=\sqrt{y}$, $dx/dy=1/(2\sqrt{y})$。$f_Y(y)=\frac12\cdot\frac1{2\sqrt{y}}=\mathbf{1/(4\sqrt{y})}$。

第三章：多维随机变量

★★★★★ 每套必考大题 — 12~15分

3.1 联合分布

二维连续型：$P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)dxdy$。满足 $f(x,y)\geq0$, $\iint f=1$。

3.2 边缘分布

$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$

真题（2025-2026 第六题，12分）

$f(x,y)=2-x-y$, $0\leq x,y\leq1$。

$f_X(x)=\int_0^1(2-x-y)dy=\frac32-x$，同理 $f_Y(y)=\frac32-y$。

3.3 随机变量的独立性

⚠️ 超级高频

$X$ 与 $Y$ 独立 ⇔ $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$（几乎处处）。

独立 ⇒ 不相关，但不相关 ⇏ 独立！（正态分布例外）

真题（2025-2026 第六题续）

$f(x,y)=2-x-y$。不独立（$f_Xf_Y\neq f$）。$EX=5/12$, $EY=5/12$, $E(XY)=1/6$, Cov$=-1/144\neq0$ → 相关。

3.4 二维随机变量函数的分布

$Z=X+Y$ 的卷积公式

$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx$

$M=\max(X,Y)$ 与 $N=\min(X,Y)$（独立时）

$F_M(z)=F_X(z)F_Y(z)$，$F_N(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$

真题（2022-2023 填空 3）

$X,Y$ i.i.d. $P\{X=n\}=1/3\;(n=1,2,3)$。$P\{\max(X,Y)=3\}=$?

$=1-P\{\max\leq2\}=1-(2/3)^2=\mathbf{5/9}$。

第四章：随机变量的数字特征

★★★★★ 每套必考

4.1 数学期望与方差

期望：离散 $EX=\sum x_kp_k$；连续 $EX=\int xf(x)dx$。线性性：$E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c$。

方差：$DX=E(X^2)-(EX)^2$。$D(aX+b)=a^2 DX$。独立时 $D(X\pm Y)=DX+DY$。

真题（2024-2025 填空 3）

$X\sim U(1,3)$, $Y\sim Exp(1)$ 独立。求 $D(X-2Y+3)$。

$DX=(3-1)^2/12=1/3$, $DY=1$。$D(X-2Y+3)=1\cdot DX+4\cdot DY=1/3+4=\mathbf{13/3}$。

4.2 协方差与相关系数

$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY$

$\rho_{XY}=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX\cdot DY}}\quad(|\rho|\leq1)$

$|\rho|=1$ ⇔ 几乎必然线性相关；$\rho=0$ ⇔ 不相关。

真题（2022-2023 填空 4）

棒长 $a$ 折两段，$X+Y=a$。$\rho_{XY}=?$

$Y=a-X$，完全线性相关（斜率 $-1$），$\rho_{XY}=\mathbf{-1}$。

真题（2023-2024 第六题，12分）

$X\sim N(1,3^2)$, $Y\sim N(0,4^2)$, $\rho_{XY}=-1/2$。$Z=X/3-Y/2$。求 $EZ$, $DZ$, $\rho_{XZ}$。

$EZ=1/3$。Cov$(X,Y)=(-1/2)\times3\times4=-6$。$DZ=1+4+2=7$。Cov$(X,Z)=3+3=6$。$\rho_{XZ}=6/\sqrt{9\times7}=\mathbf{2/\sqrt{7}}$。

4.3 常见分布速查

分布$EX$$DX$分布$EX$$DX$
$B(n,p)$$np$$np(1-p)$$U(a,b)$$(a+b)/2$$(b-a)^2/12$
$P(\lambda)$$\lambda$$\lambda$$Exp(\lambda)$$1/\lambda$$1/\lambda^2$
$Ge(p)$$1/p$$(1-p)/p^2$$N(\mu,\sigma^2)$$\mu$$\sigma^2$

第五章：大数定律与中心极限定理

★★★★☆ 高频 — 4/5套，8–10分

切比雪夫不等式

$P\{|X-EX|\geq\varepsilon\}\leq\dfrac{DX}{\varepsilon^2}$

中心极限定理（CLT）

核心结论

$X_i$ i.i.d., $EX_i=\mu$, $DX_i=\sigma^2$。$n$ 充分大时：

$\sum X_i\overset{\text{approx}}{\sim}N(n\mu,n\sigma^2)$

二项分布：$X\sim B(n,p)$ 大 $n$ 时 $X\approx N(np,np(1-p))$。

解题：① 识别分布 → ② 算 $EX,DX$ → ③ 标准化 → ④ 查 $\Phi$ 表。

真题（2022-2023 第五题，8分）

50球5红，100人摸球（放回）。超16人获奖概率？$\Phi(2)=0.977$。

$X\sim B(100,0.1)$, $EX=10,DX=9$。$P\{X>16\}=1-\Phi((16-10)/3)=1-\Phi(2)=\mathbf{0.023}$。

真题（2023-2024 第五题，8分）

100个独立元件，每个损坏率0.1，至少85个正常系统才运行。求正常概率。

正常数 $X\sim B(100,0.9)$, $EX=90,DX=9$。$P\{X\geq85\}=1-\Phi(-5/3)=\Phi(5/3)\approx\mathbf{0.952}$。

第六章：抽样分布

★★★☆☆ 中频

三大抽样分布

分布构造关键结论
$\chi^2(n)$$n$ 个独立 $N(0,1)$ 的平方和$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$
$t(n)$$Z/\sqrt{Y/n}$，$Z\sim N(0,1)$, $Y\sim\chi^2(n)$ 独立$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
$F(n_1,n_2)$$(U/n_1)/(V/n_2)$，$U,V$ 独立 $\chi^2$$T\sim t(n)\Rightarrow T^2\sim F(1,n)$

第七章：参数估计

★★★★★ 每套必考 — 矩估计+MLE 固定搭配 ~10分

7.1 点估计

矩估计法

  1. 算 $EX=g(\theta)$
  2. 令 $\bar{X}=g(\hat\theta)$
  3. 解出 $\hat\theta$

极大似然估计（MLE）

  1. $L(\theta)=\prod f(x_i;\theta)$
  2. $\ln L$
  3. $d\ln L/d\theta=0$
  4. 解出 $\hat\theta$

真题（2024-2025 第七题，10分）

$f(x;\theta)=\theta x^{\theta-1}$ ($0

矩估计：$EX=\frac{\theta}{\theta+1}$，令 $\bar{X}=\frac{\hat\theta}{\hat\theta+1}$，$\hat\theta=\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}$。
MLE：$L=\theta^n(\prod x_i)^{\theta-1}$, $\ln L=n\ln\theta+(\theta-1)\sum\ln x_i$, $\frac{d\ln L}{d\theta}=\frac{n}{\theta}+\sum\ln x_i=0$, $\hat\theta=-\frac{n}{\sum\ln X_i}$。

7.2 估计量的评价标准

标准定义
无偏性$E(\hat\theta)=\theta$
有效性无偏估计中方差最小者最优

7.3 区间估计

均值 $\mu$ — $\sigma^2$ 未知（最常见！）：$t$ 区间

$\left(\bar{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\cdot\frac{S}{\sqrt{n}},\ \bar{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

方差 $\sigma^2$：$\chi^2$ 区间

$\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right)$

真题（2022-2023 第八题，10分）

10根钢筋 $\bar{x}=457.5$, $s=35.218$, 95%置信度。

$\mu$ CI：$457.5\pm2.262\cdot\frac{35.218}{\sqrt{10}}=\mathbf{(432.3,482.7)}$。
$\sigma$ CI：$\mathbf{(24.22,64.30)}$。

第八章：假设检验

★★★★☆ 高频 — 通常最后一题，8–12分

8.1 基本概念

显著性水平 $\alpha$ = 犯第一类错误（拒真）的最大概率。通常 $\alpha=0.05$ 或 $0.01$。

8.2 单正态总体均值的假设检验

$\sigma^2$ 未知 — t 检验（最常见！）

统计量：$T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$（$H_0$ 成立时）

类型$H_0$$H_1$拒绝域
双侧$\mu=\mu_0$$\mu\neq\mu_0$$|T|\geq t_{\alpha/2}(n-1)$
左侧$\mu\geq\mu_0$$\mu<\mu_0$$T\leq -t_\alpha(n-1)$
右侧$\mu\leq\mu_0$$\mu>\mu_0$$T\geq t_\alpha(n-1)$

真题（2024-2025 第九题，10分）

36名学生 $\bar{x}=65.5$, $s=15$。(1) 与70分有无差异？(2) 是否<70分？

$T=(65.5-70)/(15/6)=-1.8$。
(1) 双侧：$|-1.8|(2) 左侧：$-1.8<-t_{0.05}(35)=-1.6896$ → 拒绝 $H_0$，成绩<70分。
双侧与单侧结论不同是正常现象——单侧检验功效更强。

真题（2023-2024 第九题，10分）

罐头 VC $X\sim N(50,3.8^2)$。$n=50$, $\bar{x}=51.26$。$\alpha=0.05$ 和 $0.01$ 下检验。

$Z=(51.26-50)/(3.8/\sqrt{50})=2.34$。
$\alpha=0.05$：$|2.34|>1.96$ → 不正常。
$\alpha=0.01$：$|2.34|<2.58$ → 正常。
结论依赖于 $\alpha$ 的选择。

8.3 单正态总体方差的假设检验 — $\chi^2$ 检验

统计量：$\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)$

真题（2022-2023 第九题，12分）

薄膜 $n=7$, $s^2=0.0052$, $\sigma_0^2=0.048^2$。$\chi^2=13.54$。
(1) 双侧：接受 $H_0$（无差异）。(2) 右侧：拒绝 $H_0$（不稳定）。
经典教学案例——双侧无差异，单侧拒绝。

8.4 假设检验解题步骤

  1. 提出 $H_0$（含等号）和 $H_1$
  2. 选统计量，确定 $H_0$ 下分布
  3. 由 $\alpha$ 查表得临界值
  4. 算观测值
  5. 比较 → 落入拒绝域则拒绝 $H_0$

附录：考点频率总表

知识点频次重要度典型分值
古典概型5/5★★★★★3–6
条件概率/全概率/贝叶斯5/5★★★★★10
一维随机变量5/5★★★★★8–15
常见分布5/5★★★★★3–12
多维随机变量5/5★★★★★12–15
期望与方差5/5★★★★★分散
协方差与相关系数5/5★★★★★5–12
矩估计+MLE5/5★★★★★10
随机变量函数的分布4/5★★★★☆3–6
中心极限定理4/5★★★★☆7–10
区间估计4/5★★★★☆8–10
假设检验4/5★★★★☆8–12
抽样分布3/5★★★☆☆3
切比雪夫不等式1/5★★☆☆☆3

数据来源：南京工业大学 2022–2026 共 5 套概率统计试卷及标准答案 · 豆包视觉模型 OCR 精确提取
涵盖：2021–2024级本科生 · A/B卷及阶段性测试 · 更新于 2026年7月