概率论与数理统计

速成课讲义蒸馏版 · 共八章 · 基于框框老师课堂81页配套讲义

1随机事件与概率

1.1 概率的四大基本公式

加法公式

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$ $$ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) $$

互不相容：若 $A \cap B = \varnothing$，则 $P(A \cap B)=0$，加法公式简化为 $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$。

减法公式

$$ P(A - B) = P(A) - P(A \cap B) $$

乘法公式

$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B) $$

独立时：$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$。

条件概率公式

$$ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)},\quad P(B) > 0 $$

对立事件公式

$$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) $$

方法速查
方法	应用场景
加法公式	求"至少发生一个"事件的概率 $P(A \cup B)$
减法公式	已知 $P(A)$ 和 $P(A-B)$，求 $P(A \cap B)$ 或其补集
条件概率	求在某事件发生的条件下另一事件发生的概率
独立性	若 $A,B$ 独立，则 $P(A \cap B)=P(A)P(B)$，且 $P(\overline{B}\mid A)=P(\overline{B})$

口诀："加奇减偶"——多事件并集时，单个交集加，两个交集减，三个交集加……

例1：利用四大公式求概率

(1) 设 $P(A)=0.5$, $P(A \cup B)=0.8$，且 $A,B$ 互不相容，求 $P(B)$。

解：$P(A \cup B)=P(A)+P(B) \;\Rightarrow\; 0.8 = 0.5 + P(B) \;\Rightarrow\; P(B)=0.3$。

答案：$P(B)=0.3$

例2：减法公式

已知 $P(A)=0.7$, $P(A-B)=0.3$，求 $P(\overline{A \cap B})$。

解：$P(A-B)=P(A)-P(A \cap B) \;\Rightarrow\; P(A \cap B)=0.7-0.3=0.4$；
$P(\overline{A \cap B})=1-0.4=0.6$。

答案：$0.6$

1.2 古典概型

古典概型概率：样本空间有限且等可能，则 $$ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{有利情况数}}{\text{总情况数}} $$

排列与组合

	公式	场景
排列	$A_n^r = n(n-1)\cdots(n-r+1)$	有序抽取
组合	$C_n^r = \dfrac{A_n^r}{r!} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}$	无序抽取

原则：分类相加，分步相乘。

例：袋中有5白球、6黑球，取2球

(1) 取到1白1黑的概率：

法1（组合）：$P = \dfrac{C_5^1 C_6^1}{C_{11}^2} = \dfrac{30}{55} = \dfrac{6}{11}$

法2（排列）：$P = \dfrac{A_5^1A_6^1 + A_6^1A_5^1}{A_{11}^2} = \dfrac{60}{110} = \dfrac{6}{11}$

(2) 至少取到1只黑球：

用对立事件：$P(B)=1-P(\overline{B})=1-\dfrac{C_5^2}{C_{11}^2}=1-\dfrac{2}{11}=\dfrac{9}{11}$

答案：(1) $\frac{6}{11}$；(2) $\frac{9}{11}$

"至少一个"问题复杂时，优先用对立事件法。

1.3 条件概率与事件的独立性

相互独立：$A$ 与 $B$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $P(B \mid A) = P(B)$ $\Leftrightarrow$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$。

独立性的传递性质

若 $A$ 与 $B$ 独立，则以下各对均独立：

$\overline{A}$ 与 $B$
$A$ 与 $\overline{B}$
$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$

特别地：$P(\overline{B} \mid A) = P(\overline{B})$。

口诀："有爸无爸，对独立无影响"——独立事件不受对方是否发生的影响，其对立事件也保持独立。

例：$A,B$ 独立，$P(B)=0.4$，$P(A \cup B)=0.5$，求 $P(\overline{B}\mid A)$

法一（利用独立性传递）：$P(\overline{B}\mid A)=P(\overline{B})=1-0.4=0.6$。

法二（计算法）：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$，解得 $P(A)=1/6$；
$P(\overline{B}\mid A) = \dfrac{P(A)-P(A)P(B)}{P(A)} = 1-0.4=0.6$。

答案：$0.6$

1.4 全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式（正向：由因推果）

设 $B_1,B_2,\dots,B_n$ 是 $\Omega$ 的完备事件组（两两互斥，并集为 $\Omega$），则：

$$ P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) P(A \mid B_i) $$

贝叶斯公式（逆向：由果溯因）

$$ P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i) P(B_i)}{P(A)} = \frac{P(A \mid B_i) P(B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j)P(A \mid B_j)} $$

应用步骤（三步法）

将第一阶段所有可能结果作为完备事件组 $B_1,B_2,\dots$
将第二阶段的目标事件记为 $A$
选用全概率公式或贝叶斯公式求解

例1（两袋转移球）：甲袋5红4白，乙袋4红5白。从甲袋取1球放入乙袋，再从乙袋取1球。

完备事件组：$B_1$（甲取红）= $5/9$，$B_2$（甲取白）= $4/9$。

(1) 求从乙袋取到白球的概率（全概率）：

$P(A)=P(B_1)P(A\mid B_1)+P(B_2)P(A\mid B_2)=\frac{5}{9}\cdot\frac{5}{10}+\frac{4}{9}\cdot\frac{6}{10}=\frac{49}{90}$

(2) 已知从乙袋取到白球，求从甲袋取白球的概率（贝叶斯）：

$P(B_2\mid A)=\dfrac{P(A\mid B_2)P(B_2)}{P(A)}=\dfrac{\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{9}}{\frac{49}{90}}=\dfrac{24}{49}$

答案：(1) $\frac{49}{90}$；(2) $\frac{24}{49}$

例2（性别与色盲）：男性5%色盲、女性0.25%色盲，男女人数相等。随机选一人是色盲，求是男性的概率。

$P(\text{色盲})=\frac{1}{2}\cdot0.05+\frac{1}{2}\cdot0.0025=0.02625$

$P(\text{男}\mid\text{色盲})=\dfrac{0.05\cdot\frac{1}{2}}{0.02625}=\dfrac{20}{21}$

答案：$\frac{20}{21}$

1.5 伯努利概型

伯努利概型条件：① 独立重复试验 $n$ 次；② 每次只有两种结果（成功/失败）；③ 成功概率 $p$ 不变。
$k$ 次成功的概率： $$ P_n(k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} $$

区分"恰好 $k$ 次"与"至少 $k$ 次"——后者需累加多项。

例：命中率0.8，独立射击5次，求恰好命中2次

$P_5(2)=\binom{5}{2}(0.8)^2(0.2)^3=10\cdot0.64\cdot0.008=0.0512$

答案：$0.0512$

例：四次独立射击，至少命中一次的概率为 $\frac{80}{81}$，求单次命中率 $p$

$P(\text{至少1次})=1-P(X=0)=1-(1-p)^4=\frac{80}{81}$；$(1-p)^4=\frac{1}{81}=(\frac{1}{3})^4$；$p=\frac{2}{3}$

答案：$p=\frac{2}{3}$

2一维随机变量及其分布

2.1 离散型随机变量

分布律：列出所有可能取值 $x_i$ 及其概率 $P\{X=x_i\}=p_i$。满足 $p_i \ge 0$ 且 $\sum p_i = 1$。

求分布律步骤

找出随机变量的所有可能取值
计算每个取值对应的概率

例：掷两次骰子，$X$ 表示两次中较小点数，求分布律

$X$	1	2	3	4	5	6
$P$	$\frac{11}{36}$	$\frac{9}{36}$	$\frac{7}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{1}{36}$

规律：$P(X=k)=\dfrac{13-2k}{36}$，$k=1,2,\dots,6$。

二项分布 $B(n,p)$

条件：独立重复试验 $n$ 次，每次成功概率 $p$。

$$ P\{X = k\} = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\dots,n $$

2.2 连续型随机变量

分布函数：$F(x)=P(X \le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$
概率密度：$f(x)=F'(x)$（在连续点处）
区间概率：$P(a < X \le b)=\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$
单点概率：$P(X=a)=0$

由 $f(x)$ 求 $F(x)$ 的方法

分段积分：$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$
利用边界条件 $F(-\infty)=0$、$F(+\infty)=1$ 确定常数
检查分段点处的连续性

求未知参数

利用规范性（总概率为1）：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$。

例：已知 $F(x)=\begin{cases}0,&x<1\\\ln x,&1\le x

(1) $f(x)=F'(x)=\begin{cases}1/x,&1

(2) $P(X<2)=F(2)=\ln 2$；$P(0

例：$f(x)=\begin{cases}k e^{-2x},&x\ge 0\\0,&x<0\end{cases}$，求 $k$ 和 $F(x)$

(1) $\int_0^\infty k e^{-2x}dx = k/2 = 1 \Rightarrow k=2$

(2) $F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\1-e^{-2x},&x\ge 0\end{cases}$

2.3 常见分布

常见分布一览
分布名	密度 / 分布律	$E(X)$	$D(X)$
二项 $B(n,p)$	$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
泊松 $P(\lambda)$	$P(X=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$	$\lambda$	$\lambda$
均匀 $U(a,b)$	$f(x)=\dfrac{1}{b-a}, a	$\dfrac{a+b}{2}$	$\dfrac{(b-a)^2}{12}$
指数 $e(\lambda)$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{1}{\lambda^2}$
正态 $N(\mu,\sigma^2)$	$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu$	$\sigma^2$

正态分布重要性质

图形对称于 $x=\mu$；$P(X\le\mu)=P(X\ge\mu)=1/2$
标准化：$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
$\Phi(0)=0.5$，$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$
$P(a

例：$X\sim N(2,\sigma^2)$，$P(2

法1（对称性）：对称中心 $\mu=2$，$P(2

法2（标准化）：$P(0$P(X<0)=P(Z<-\frac{2}{\sigma})=1-0.8=0.2$。

答案：$0.2$

例：$X\sim U(0,5)$，求方程 $4t^2+4Xt+X+2=0$ 有实根的概率

$\Delta = 16X^2-16(X+2) \ge 0 \Rightarrow X^2-X-2\ge 0 \Rightarrow (X-2)(X+1)\ge 0$

$\Rightarrow X\le -1$ 或 $X\ge 2$。$X\in[0,5]$，故 $P(X\ge 2)=\frac{5-2}{5-0}=\frac{3}{5}$。

答案：$\frac{3}{5}$

2.4 随机变量函数的分布

离散型：$Y=g(X)$ 的分布律

步骤：① 找出 $Y$ 的所有可能取值；② 对每个 $y$，合并使 $g(x)=y$ 的所有 $x$ 的概率。

例：$X\sim\begin{pmatrix}-2&-1&0&1&2\\1/5&1/6&1/5&1/15&1/30\end{pmatrix}$，求 $Y=X^2$ 的分布律

$Y$	0	1	4	9
$P$	$\frac{1}{5}$	$\frac{7}{30}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{30}$

连续型：$Y=g(X)$ 的分布

分布函数法（三步法）：

找分段点：将 $X$ 的分段点代入 $y=g(x)$ 得到 $Y$ 的分段点
求分布函数：$F_Y(y)=P(Y\le y)=\int_{\{x:g(x)\le y\}} f_X(x)\,dx$
求导得密度：$f_Y(y)=F'_Y(y)$

例：$X\sim U(0,2)$，$Y=X^3$，求 $F_Y(y)$ 和 $f_Y(y)$

分段点：$x=0,2$ → $y=0,8$

$F_Y(y)=\begin{cases}0,&y<0\\[2pt]\frac{\sqrt[3]{y}}{2},&0\le y<8\\[2pt]1,&y\ge 8\end{cases}$

$f_Y(y)=F'_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{6}y^{-2/3},&0

3多维随机变量及其分布

3.1 二维离散型随机变量

核心概念对照
概念	公式
联合分布	$P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$，$\sum p_{ij}=1$
边缘分布	$P(X=x_i)=\sum_j p_{ij}$（行和）；$P(Y=y_j)=\sum_i p_{ij}$（列和）
条件分布	$P(X=x_i\mid Y=y_j)=\dfrac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}$
独立性	$p_{ij}=P(X=x_i)P(Y=y_j)$ 对所有 $i,j$ 成立 ⇔ 各行成比例

例：两封信随机投入4个邮筒，$X,Y$ 分别为第1、2号筒内信数

(1) 联合分布律（共 $4^2=16$ 种投法）：

$X\backslash Y$	0	1	2
0	$1/4$	$1/4$	$1/16$
1	$1/4$	$1/8$	$0$
2	$1/16$	$0$	$0$

(2) 边缘分布：$P(X=0)=9/16$, $P(X=1)=3/8$, $P(X=2)=1/16$（$Y$ 相同）

(3) $X\mid Y=1$ 条件分布：$P(X=0\mid Y=1)=2/3$, $P(X=1\mid Y=1)=1/3$, $P(X=2\mid Y=1)=0$

(4) 独立性：$P(X=0,Y=0)=1/4\neq\frac{9}{16}\cdot\frac{9}{16}$，不独立。

口诀：联合先取值，再算概率；边缘行列加，条件用除法；独立看比例，不等就不独。

3.2 二维连续型随机变量

核心概念对照
概念	公式
规范性	$\iint f(x,y)\,dx\,dy=1$
边缘密度	$f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy$；$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dx$
条件密度	$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}$
独立性	$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ 恒成立

例：$f(x,y)=\begin{cases}kx,&0\le x\le y\le 1\\0,&\text{其它}\end{cases}$

(1) 求 $k$：$\int_0^1\int_x^1 kx\,dy\,dx = k/6 = 1 \Rightarrow k=6$

(2) $P(X+Y\le 1)$：$\int_0^{1/2}\int_x^{1-x}6x\,dy\,dx = 1/4$

(3) 边缘密度：

$f_X(x)=\int_x^1 6x\,dy = 6x(1-x)$, $0

$f_Y(y)=\int_0^y 6x\,dx = 3y^2$, $0

(4) 条件密度：$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\dfrac{6x}{6x(1-x)}=\dfrac{1}{1-x},\;x\le y\le 1$（即 $Y\mid X=x\sim U(x,1)$）

(5) 独立性：$f(x,y)=6x \neq 6x(1-x)\cdot 3y^2=f_X(x)f_Y(y)$，不独立。

3.3 两个随机变量函数的分布

离散型：$Z=g(X,Y)$

步骤：① 找出 $Z$ 所有可能取值；② 合并相同 $z$ 值对应的概率。

例：已知 $(X,Y)$ 联合分布，求 $Z=X+Y$ 的分布律

$X\backslash Y$	1	2	3
1	1/4	1/4	1/8
2	1/8	0	1/4

$Z=X+Y$ 取值 2,3,4,5：

$Z$	2	3	4	5
$P$	1/4	3/8	1/8	1/4

连续型：分布函数法

① 找分段点（支持集边界代入 $z=g(x,y)$）； ② $F_Z(z)=\iint_{g(x,y)\le z}f(x,y)\,dx\,dy$； ③ $f_Z(z)=F'_Z(z)$。

4数字特征

4.1 期望与方差

基本性质

性质	公式
线性	$E(aX+b)=aE(X)+b$
常数的方差	$D(c)=0$
平移缩放	$D(aX+b)=a^2 D(X)$
独立时求和	$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$（独立）
线性组合（独立）	$D(\sum a_i X_i)=\sum a_i^2 D(X_i)$

例：$X_1\sim U(0,6)$, $X_2\sim N(0,4)$, $X_3\sim P(3)$ 相互独立，求 $D(X_1-2X_2+3X_3)$

$D(X_1)=\frac{(6-0)^2}{12}=3$，$D(X_2)=4$，$D(X_3)=3$

$D=3+4\cdot4+9\cdot3=3+16+27=46$

答案：$46$

常见分布期望与方差速查

分布	$E(X)$	$D(X)$
$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
$P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$
$U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
$e(\lambda)$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
$N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2$

4.2 协方差与相关系数

定义

$$ \operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) $$ $$ \rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)\cdot D(Y)}} $$

协方差性质

$\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X)$
$\operatorname{Cov}(X+Y,Z)=\operatorname{Cov}(X,Z)+\operatorname{Cov}(Y,Z)$
$\operatorname{Cov}(Y,Y)=D(Y)$
$\operatorname{Cov}(X,Y)=0 \Leftrightarrow X$ 与 $Y$ 不相关（但未必独立！）

例（离散型）：已知 $X,Y,XY$ 分布律，求 $\operatorname{Cov}(X-Y,Y)$ 和 $\rho_{XY}$

计算得：$E(X)=2/3$, $E(Y)=1$, $E(XY)=2/3$, $D(Y)=2/3$

$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$

$\operatorname{Cov}(X-Y,Y)=\operatorname{Cov}(X,Y)-D(Y)=-2/3$

$\rho_{XY}=0$（$X$ 与 $Y$ 不相关）

例（连续型）：$f(x,y)=\frac{3}{4}x^2y,\;0\le x\le 2,0\le y\le 1$，求 $\rho_{XY}$

$E(XY)=1$, $E(X)=3/2$, $E(Y)=2/3$

$\operatorname{Cov}(X,Y)=1-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=0 \Rightarrow \rho_{XY}=0$

答案：不相关

$\rho_{XY}=0$ 表示不相关，但不能推出独立。独立 ⇒ 不相关，反之不成立（正态分布除外）。

4.3 切比雪夫不等式

切比雪夫不等式：若 $E(X)$ 与 $D(X)$ 存在，则对任意 $\varepsilon>0$： $$ P(|X - E(X)| \ge \varepsilon) \le \frac{D(X)}{\varepsilon^2} $$ 等价地：$P(|X - E(X)| < \varepsilon) \ge 1 - \dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$

口诀："大小不一"（大于等于用上界），"小大有一"（小于用下界，有"一"即 $1-$）。

例：$E(X)=100$，$D(X)=50$，求 $P(80

$P(80

答案：至少 $\frac{7}{8}$

切比雪夫不等式给出的是下界估计，不是精确值，通常比真实概率保守。

5大数定律与中心极限定理

中心极限定理（CLT）：若 $X_1,X_2,\dots,X_n$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，则当 $n$ 充分大时： $$ \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{\text{近似}} N(n\mu,\; n\sigma^2) $$ 标准化： $$ Z = \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \xrightarrow{\text{近似}} N(0,1) $$

应用步骤

识别条件："独立"、"同分布"、"$n$ 个"
计算每个 $X_i$ 的 $\mu$ 和 $\sigma^2$
将总和近似为正态 $N(n\mu, n\sigma^2)$
标准化，查标准正态分布表

例1：电子元件寿命服从均值为100小时的指数分布，取16只独立元件，求寿命总和 > 1920小时的概率

$E(X_i)=100$, $D(X_i)=100^2$；$\sum X_i\approx N(1600, 160000)$

$P(\sum X_i>1920)=1-\Phi\!\left(\frac{1920-1600}{\sqrt{160000}}\right)=1-\Phi(0.8)=1-0.7881=0.2119$

答案：$0.2119$

例2：100个独立部件，每个损坏概率0.1，求至少有85个正常工作的概率

设 $X_i\sim B(1,0.1)$ 为损坏指示。$\sum X_i\approx N(10, 9)$

"至少85正常" ⇔ "损坏 ≤ 15"：$P(\sum X_i\le 15)=\Phi\!\left(\frac{15-10}{3}\right)\approx\Phi(1.67)=0.9529$

答案：$0.9529$

6抽样分布

三大分布的定义

分布	构造	说明
$\chi^2(n)$	$X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2$	$X_i\sim N(0,1)$ 独立
$t(n)$	$\dfrac{X_1}{\sqrt{X_2/n}}$	$X_1\sim N(0,1)$, $X_2\sim\chi^2(n)$ 独立
$F(n_1,n_2)$	$\dfrac{X_1/n_1}{X_2/n_2}$	$X_1\sim\chi^2(n_1)$, $X_2\sim\chi^2(n_2)$ 独立

分位点记号

$\chi^2_\alpha(n)$：上 $\alpha$ 分位点，右侧面积为 $\alpha$
$t_\alpha(n)$：上 $\alpha$ 分位点，$t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)$
$F_\alpha(n_1,n_2)$：上 $\alpha$ 分位点，$F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\dfrac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}$

重要关系：若 $X\sim t(n)$，则 $X^2\sim F(1,n)$。

三大正态总体的抽样分布（核心定理）

设 $X_1,\dots,X_n$ 来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$，$\bar{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差：

$\bar{X}\sim N(\mu, \sigma^2/n)$
$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$
$\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立
$\dfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

7参数估计

7.1 矩估计与最大似然估计

矩估计法

思想：总体矩 ≈ 样本矩（$n$ 大时）。

步骤：① 计算总体矩 $E(X)$；② 令样本均值 $\bar{X}=E(X)$；③ 解出 $\hat{\theta}$。

最大似然估计（MLE）

思想：选择使得观测样本出现概率最大的参数值。

步骤：

写出似然函数：$L(\theta)=\prod f(x_i;\theta)$（连乘）
取对数：$\ln L(\theta)$
求导解驻点：$\dfrac{d\ln L}{d\theta}=0$

例：$f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta,\;0

(1) 矩估计：$E(X)=(\theta+1)\int_0^1 x^{\theta+1}dx=\dfrac{\theta+1}{\theta+2}$

令 $\bar{X}=\dfrac{\theta+1}{\theta+2} \;\Rightarrow\; \hat{\theta}=\dfrac{2\bar{X}-1}{1-\bar{X}}$

(2) MLE：$L=(\theta+1)^n(\prod x_i)^\theta$；$\ln L=n\ln(\theta+1)+\theta\sum\ln x_i$

$\dfrac{d\ln L}{d\theta}=\dfrac{n}{\theta+1}+\sum\ln x_i=0 \;\Rightarrow\; \hat{\theta}=-1-\dfrac{n}{\sum\ln x_i}$

7.2 估计量的评价

无偏性

$$ E(\hat{\theta}) = \theta $$

若成立，则 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。

有效性

$$ D(\hat{\theta}_1) < D(\hat{\theta}_2) $$

在两个无偏估计中，方差更小的更有效。

例：$X_1,X_2\sim N(\mu,1)$，比较 $\hat{\mu}_1=\frac{1}{3}X_1+\frac{2}{3}X_2$ 与 $\hat{\mu}_2=\frac{1}{4}X_1+\frac{3}{4}X_2$

无偏性：$E(\hat{\mu}_1)=E(\hat{\mu}_2)=\mu$ ✔ 均无偏

有效性：$D(\hat{\mu}_1)=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\approx 0.556$；$D(\hat{\mu}_2)=\frac{1}{16}+\frac{9}{16}=\frac{5}{8}=0.625$

$D(\hat{\mu}_1)

7.3 区间估计

正态总体均值 $\mu$ 的置信区间

条件	枢轴量	$1-\alpha$ 置信区间
$\sigma^2$ 已知	$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$	$\left(\bar{X} \pm \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2}\right)$
$\sigma^2$ 未知	$\dfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$	$\left(\bar{X} \pm \dfrac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2}(n-1)\right)$

方差 $\sigma^2$ 的置信区间（$\mu$ 未知）

$$ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) $$ $$ \left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} \right) $$

例：$n=6$，$\bar{x}=14.95$，$s=0.226$，$1-\alpha=95\%$

(1) $\mu$ 的置信区间（$\sigma^2$ 未知，用 $t$）：

$t_{0.025}(5)=2.57$，$\bar{x}\pm\frac{s}{\sqrt{n}}t\approx 14.95\pm0.092\cdot2.57\approx(14.71,15.19)$

(2) $\sigma^2$ 的置信区间：

$\chi^2_{0.025}(5)=12.83$，$\chi^2_{0.975}(5)=0.831$

$\left(\frac{5\cdot0.051}{12.83},\;\frac{5\cdot0.051}{0.831}\right)\approx(0.020,0.307)$

8假设检验

假设检验四步法

提出假设：$H_0$（原假设），$H_1$（备择假设）
选统计量：根据检验对象和条件选择
定拒绝域：根据显著性水平 $\alpha$ 和检验方向
计算并判断：统计量落入拒绝域则拒绝 $H_0$

8.1 均值的假设检验

均值检验方法选择
条件	检验名	统计量	分布
$\sigma^2$ 已知	U检验	$U=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$	$N(0,1)$
$\sigma^2$ 未知	T检验	$T=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$	$t(n-1)$

拒绝域（双侧检验）

U 检验：$W=(-\infty, -z_{\alpha/2})\cup(z_{\alpha/2}, +\infty)$

T 检验：$W=(-\infty, -t_{\alpha/2}(n-1))\cup(t_{\alpha/2}(n-1), +\infty)$

例（U检验）：食盐包装 $X\sim N(500,15^2)$，抽 $n=9$，$\bar{x}=511.22$，$\alpha=0.05$，问机器是否正常

$H_0:\mu=500$，$H_1:\mu\neq 500$

$U=\dfrac{511.22-500}{15/3}=2.244$

$z_{0.025}=1.96$，拒绝域 $(-\infty,-1.96)\cup(1.96,+\infty)$

$|U|=2.244>1.96$ ⇒ 拒绝 $H_0$，机器不正常。

8.2 方差的假设检验（$\chi^2$ 检验）

检验统计量

$$ \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1) $$

双侧拒绝域：$W=(0,\;\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1))\cup(\chi^2_{\alpha/2}(n-1),\;+\infty)$

例：饮料方差要求 $\sigma_0^2=0.0004$，抽 $n=20$，$s=0.03$，$\alpha=0.05$

$H_0:\sigma^2=0.0004$，$\chi^2=\dfrac{19\times0.0009}{0.0004}=42.75$

$\chi^2_{0.975}(19)=8.907$，$\chi^2_{0.025}(19)=32.852$

$42.75>32.852$ ⇒ 拒绝 $H_0$，未达到方差要求。

检验方法速查

检验对象	条件	统计量	分布
均值 $\mu$	$\sigma^2$ 已知	$\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$	$N(0,1)$
均值 $\mu$	$\sigma^2$ 未知	$\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$	$t(n-1)$
方差 $\sigma^2$	$\mu$ 未知	$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$	$\chi^2(n-1)$

内容源自框框老师《概率论与数理统计》速成课配套电子讲义（共81页）· 蒸馏整理版