参数估计精讲

真题 A 2023-2024 第七题

题目：总体 $X$ 服从 Pareto 分布，分布函数 $F(x) = 1 - x^{-\alpha}\;(x \ge 1)$，求 $\alpha$ 的矩估计量。

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解：

密度函数：$f(x) = F'(x) = \alpha x^{-\alpha-1}\;(x \ge 1)$

总体均值：

$$E X = \int_1^\infty x \cdot \alpha x^{-\alpha-1}\,dx = \alpha \int_1^\infty x^{-\alpha}\,dx = \alpha \left[ \frac{x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1} \right]_1^\infty = \frac{\alpha}{\alpha-1}\quad (\alpha>1)$$

令 $\bar{X} = \dfrac{\hat{\alpha}}{\hat{\alpha}-1}$，解得：

真题 B 2024-2025 第七题

题目：总体 $X$ 密度 $f(x) = \theta x^{\theta-1}\;(0 < x < 1)$，求 $\theta$ 的矩估计量。

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解：

总体均值：

$$E X = \int_0^1 x \cdot \theta x^{\theta-1}\,dx = \theta \int_0^1 x^{\theta}\,dx = \theta \cdot \frac{1}{\theta+1} = \frac{\theta}{\theta+1}$$

令 $\bar{X} = \dfrac{\hat{\theta}}{\hat{\theta}+1}$，解得：

真题 A 2022-2023 第七题

题目：总体 $X$ 密度为

$$f(x;\theta) = \begin{cases} \theta, & 0 < x < 1 \\ 1-\theta, & 1 \le x < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

求 $\theta$ 的极大似然估计量。

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解：

设 $n$ 个样本中有 $N$ 个落在 $(0,1)$ 内，则 $(n-N)$ 个落在 $[1,2)$ 内。

似然函数：$L(\theta) = \theta^N \cdot (1-\theta)^{n-N}$

取对数：$\ln L = N\ln\theta + (n-N)\ln(1-\theta)$

求导：$\dfrac{d}{d\theta}\ln L = \dfrac{N}{\theta} - \dfrac{n-N}{1-\theta} = 0$

解得 $\theta = \dfrac{N}{n}$

真题 B 2023-2024 第七题（MLE部分）

题目：Pareto 分布 $f(x) = \alpha x^{-\alpha-1}\;(x \ge 1)$，求 $\alpha$ 的极大似然估计量。

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解：

似然函数：$L(\alpha) = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} \alpha x_i^{-\alpha-1} = \alpha^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{-\alpha-1}$

取对数：$\ln L = n\ln\alpha - (\alpha+1)\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln x_i$

求导：$\dfrac{d}{d\alpha}\ln L = \dfrac{n}{\alpha} - \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$

真题 C 2024-2025 第七题（MLE部分）

题目：$f(x) = \theta x^{\theta-1}\;(0 < x < 1)$，求 $\theta$ 的极大似然估计量。

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解：

似然函数：$L(\theta) = \displaystyle\prod_{i=1}^{n} \theta x_i^{\theta-1} = \theta^n \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{\theta-1}$

取对数：$\ln L = n\ln\theta + (\theta-1)\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln x_i$

求导：$\dfrac{d}{d\theta}\ln L = \dfrac{n}{\theta} + \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$

真题 D 2025-2026第一学期 第八题

题目：总体 $X \sim U(0, \theta)$，求 $\theta$ 的 MLE，并证明其是否无偏。

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解：

密度：$f(x) = \dfrac{1}{\theta}\;(0 < x < \theta)$，似然函数 $L(\theta) = \dfrac{1}{\theta^n}$，约束 $\theta \ge \max\{x_i\}$。

$L(\theta)$ 关于 $\theta$ 递减，$\therefore$ $\theta$ 越小越好，但受约束 $\theta \ge X_{(n)}$。

无偏性检验：

$X_{(n)}$ 的密度：$f_{(n)}(x) = n \cdot \dfrac{x^{n-1}}{\theta^n}\;(0 < x < \theta)$

$$E\hat{\theta} = \int_0^\theta x \cdot n\frac{x^{n-1}}{\theta^n}\,dx = \frac{n}{\theta^n} \cdot \frac{\theta^{n+1}}{n+1} = \frac{n}{n+1}\theta \neq \theta$$

$\hat{\theta} = X_{(n)}$ 不是无偏估计，但 $\dfrac{n+1}{n}X_{(n)}$ 是无偏估计。

真题 2024-2025 选择题 5

题目：设 $\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2, \hat{\mu}_3, \hat{\mu}_4$ 都是 $\mu$ 的无偏估计，方差分别为 $D\hat{\mu}_1 = \frac{\sigma^2}{n},\; D\hat{\mu}_2 = \frac{\sigma^2}{2n},\; D\hat{\mu}_3 = \frac{2\sigma^2}{n},\; D\hat{\mu}_4 = \frac{\sigma^2}{3n}$，则最有效的是？

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解：四个都无偏，直接比较方差大小。

$D\hat{\mu}_4 = \frac{\sigma^2}{3n} < D\hat{\mu}_2 = \frac{\sigma^2}{2n} < D\hat{\mu}_1 = \frac{\sigma^2}{n} < D\hat{\mu}_3 = \frac{2\sigma^2}{n}$

相合性（一致性）Consistency

样本容量 $n \to \infty$ 时，估计量依概率收敛于真值：

$$\hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta \quad (n \to \infty)$$

矩估计和 MLE 在正则条件下都是相合估计。考试中较少单独命题，常在"判断以下说法的正误"出现。

真题 A 2022-2023 第八题 · 10分

题目：钢筋抗拉强度 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。抽取 10 根，测得 $\bar{x} = 520,\; s = 12$。求：

(1) $\mu$ 的 95% 置信区间   (2) $\sigma^2$ 的 95% 置信区间

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解 (1)：$\sigma^2$ 未知，用 $t$ 分布。$n=10,\; \alpha=0.05,\; t_{0.025}(9) = 2.262$

$$\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 520 \pm 2.262 \times \frac{12}{\sqrt{10}}$$ $$= 520 \pm 2.262 \times 3.795 \approx 520 \pm 8.58$$

解 (2)：用 $\chi^2$ 分布。$\chi^2_{0.025}(9) = 19.023,\; \chi^2_{0.975}(9) = 2.700$

$$\left[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\; \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right] = \left[\frac{9 \times 144}{19.023},\; \frac{9 \times 144}{2.700}\right]$$

真题 B 2025-2026第一学期 第七题 · 8分

题目：学生成绩 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。随机抽 16 人，$\bar{x}=75,\; s=8$。求 $\mu$ 的 95% 置信区间。

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解：$\sigma^2$ 未知，用 $t$ 分布。$n=16,\; \alpha=0.05,\; t_{0.025}(15) = 2.131$

$$\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 75 \pm 2.131 \times \frac{8}{4} = 75 \pm 2.131 \times 2$$

置信区间公式速查

场景	公式	查表
$\mu$，$\sigma^2$ 已知	$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}$	正态分位数表
$\mu$，$\sigma^2$ 未知	$\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot S/\sqrt{n}$	$t$ 分布表，自由度 $n-1$
$\sigma^2$	$\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]$	$\chi^2$ 分布表，自由度 $n-1$
$\mu_1-\mu_2$（双样本）	$(\bar{X}-\bar{Y}) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}$	正态分位数表

常用分位数： $z_{0.025}=1.96,\; z_{0.05}=1.645,\; z_{0.005}=2.576$   $t_{0.025}(9)=2.262,\; t_{0.025}(15)=2.131,\; t_{0.025}(24)=2.064$

1. 矩估计忘了检查参数范围：Pareto 的 $\alpha>1$，幂函数的 $0<\theta$，解出结果后检查是否满足。
2. MLE 取对数后忘记链式法则：$\ln x_i^{\theta-1} = (\theta-1)\ln x_i$，别漏了 $\ln x_i$ 前的系数。
3. $t$ 分布和 $z$ 分布混淆：$\sigma^2$ 未知→$t$；$\sigma^2$ 已知→$z$。真题几乎都是 $t$ 分布（$\sigma^2$ 未知）。
4. $\chi^2$ 区间上下界写反：下界分母是 $\chi^2_{\alpha/2}$（大），上界分母是 $\chi^2_{1-\alpha/2}$（小），所以下界 < 上界。
5. $S^2$ 的分母是 $n-1$：题目给样本标准差 $s$ 时直接用，但给 $\sum(X_i-\bar{X})^2$ 时要除以 $n-1$。
6. 似然函数遗漏约束条件：均匀分布 $U(0,\theta)$ 的 MLE 是 $X_{(n)}$，不是求导=0 解出来的！