假设检验精讲

基于 2022–2026 五套真题 · 概率论与数理统计期末复习

Z 检验t 检验χ² 检验 5 套真题覆盖

§1 基本概念

1.1 原假设与备择假设

原假设 H₀

通常表述为「无差异」「无变化」「等于某值」。是检验的基准，承载「无法轻易否定就不拒绝」的保守立场。

H₀: μ = μ₀  或  H₀: μ ≤ μ₀  或  H₀: μ ≥ μ₀

备择假设 H₁

通常是想证明的结论。可以是双侧（≠）、左侧（<）或右侧（>）。

H₁: μ ≠ μ₀  或  H₁: μ < μ₀  或  H₁: μ > μ₀

💡 黄金法则：等号永远在 H₀ 无论是 =、≤ 还是 ≥，永远放在原假设。H₁ 只写 ≠、< 或 >（严格不等）。

1.2 两类错误

H₀ 为真H₀ 为假
拒绝 H₀ 第 Ⅰ 类错误（弃真）
概率 ≤ α		 正确决策
（检验功效 1−β）
接受 H₀ 正确决策
（置信度 1−α）		 第 Ⅱ 类错误（取伪）
概率 = β
📌 显著性水平 α α = 犯第 Ⅰ 类错误的最大概率（通常取 0.05 或 0.01）。α 越小，拒绝 H₀ 越困难，越「保守」。同一数据在不同 α 下结论可能相反（见 §2.1 罐头 VC 真题）。

1.3 拒绝域 vs 接受域

给定 α，将统计量的取值范围划分为两个区域：

拒绝域（否定域）

如果统计量观测值落入此区域，则拒绝 H₀，认为差异显著。

接受域

如果统计量观测值落入此区域，则不能拒绝 H₀，认为差异不显著。

注：「接受 H₀」≠「证明 H₀ 为真」，只是现有证据不足以拒绝它。

§2.1 单正态总体均值 — Z 检验（σ² 已知）

$$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$$

适用条件：总体正态（或大样本 n≥30），且总体方差 σ² 已知。

拒绝域（显著性水平 α）

检验类型H₀H₁拒绝域
双侧 μ = μ₀μ ≠ μ₀ $|Z| \ge z_{\alpha/2}$
左侧 μ ≥ μ₀μ < μ₀ $Z \le -z_\alpha$
右侧 μ ≤ μ₀μ > μ₀ $Z \ge z_\alpha$
📝 真题：罐头 VC 含量（2023-2024 第九题，10分）

某品牌罐头 VC 含量服从 N(μ, 4²)。声称平均为 21mg。随机抽取 16 罐，测得 x̄ = 23mg。

（1）α = 0.05 时，是否认为 VC 含量有显著变化？
（2）α = 0.01 时呢？

解（1）α = 0.05

① 提出假设：$H_0: \mu = 21$，$H_1: \mu \ne 21$（双侧）

② 统计量：$Z = \frac{23 - 21}{4/\sqrt{16}} = \frac{2}{1} = 2$

③ 临界值：$z_{0.025} = 1.96$

④ 比较：$|Z| = 2 > 1.96 = z_{0.025}$ → 落入拒绝域

⑤ 结论：在 α = 0.05 下，认为 VC 含量有显著变化。

解（2）α = 0.01

③ 临界值：$z_{0.005} = 2.575$（查表）

④ 比较：$|Z| = 2 < 2.575 = z_{0.005}$ → 落入接受域

⑤ 结论：在 α = 0.01 下，不能认为 VC 含量有显著变化。

⚠️ 核心考点：同一数据，不同 α 下结论相反 α 越小，拒绝域越「窄」，越难拒绝 H₀。这就是两类错误的权衡：降低 α 会增加 β。
📝 真题：B 卷填空（2025-2026 第一学期 填空4）— 已知 α 反求拒绝域 k

已知 z₀.₀₂₅ = 1.96，z₀.₀₅ = 1.645。给定 α，倒推拒绝域的临界值 k。

思路：拒绝域形式如 $|Z| \ge k$（双侧）或 $Z \ge k$（右侧），其中 k 由 α 决定。

若 α = 0.05，双侧 → $k = z_{0.025} = 1.96$；右侧 → $k = z_{0.05} = 1.645$。

代入 $Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$，解出 $\bar{X}$ 或 k 的具体值。

§2.2 单正态总体均值 — t 检验（σ² 未知）

$$T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$$
💡 考试最高频！ 实际场景中 σ² 几乎永远未知，所以 t 检验是最常见的大题。牢记自由度 df = n−1。

拒绝域

检验类型H₀H₁拒绝域
双侧μ = μ₀μ ≠ μ₀$|T| \ge t_{\alpha/2}(n-1)$
左侧μ ≥ μ₀μ < μ₀$T \le -t_\alpha(n-1)$
右侧μ ≤ μ₀μ > μ₀$T \ge t_\alpha(n-1)$
📝 真题 A：学生成绩（2024-2025 第九题，10分）— 双侧 vs 单侧经典矛盾

某班成绩服从正态分布。随机抽 9 人，x̄ = 72，s = 10。问：（1）α=0.05，能否认为总体均值与 75 有差异？（双侧）
（2）α=0.05，能否认为总体均值低于 75？（左侧）

解（1）双侧检验

① H₀: μ = 75，H₁: μ ≠ 75

② $T = \frac{72-75}{10/\sqrt{9}} = \frac{-3}{10/3} = -0.9$

③ $t_{0.025}(8) = 2.306$（查 t 分布表，双侧 α=0.05 → 右侧面积 0.025）

④ $|T| = 0.9 < 2.306 = t_{0.025}(8)$ → 接受 H₀

⑤ 不能认为与 75 有显著差异。

解（2）左侧检验

① H₀: μ ≥ 75，H₁: μ < 75

② $T = -0.9$（同上）

③ $t_{0.05}(8) = 1.860$，拒绝域 $T \le -t_{0.05}(8) = -1.860$

④ $T = -0.9 > -1.860$ → 接受 H₀

⑤ 不能认为总体均值低于 75。

⚠️ 经典矛盾分析 此题特殊的设定导致双侧和左侧都接受 H₀（因为 n 太小、样本方差太大导致检验功效不足）。但老师出题的本意是展示：同一数据，双侧检验可能不显著，而单侧检验可能显著（单侧拒绝域阈值更低，更容易拒绝）。理解这个原理比本题具体结论更重要。
📝 真题 B：元件寿命（2025-2026 第一学期 第九题，8分）— 单侧右侧检验

某电子元件寿命服从正态分布。随机抽 10 只，x̄ = 1250h，s = 80h。问 α=0.05，能否认为平均寿命超过 1200h？

解

① H₀: μ ≤ 1200，H₁: μ > 1200（右侧检验）

② $T = \frac{1250-1200}{80/\sqrt{10}} = \frac{50}{80/3.162} = \frac{50}{25.3} ≈ 1.976$

③ $t_{0.05}(9) = 1.833$（查表）

④ $T = 1.976 > 1.833 = t_{0.05}(9)$ → 拒绝 H₀

⑤ 认为平均寿命显著超过 1200h。

§3 单正态总体方差 — χ² 检验

$$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$$

适用条件：总体正态。检验总体方差 σ² 是否等于（或 ≤、≥）给定值 σ₀²。

拒绝域

检验类型H₀H₁拒绝域
双侧σ² = σ₀²σ² ≠ σ₀² $\chi^2 \le \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 或 $\chi^2 \ge \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$
左侧σ² ≥ σ₀²σ² < σ₀² $\chi^2 \le \chi^2_{1-\alpha}(n-1)$
右侧σ² ≤ σ₀²σ² > σ₀² $\chi^2 \ge \chi^2_\alpha(n-1)$
📌 χ² 检验的关键：双侧有两个临界值 与 Z/t 检验不同，χ² 分布不对称，双侧检验需要同时查 $\chi^2_{1-\alpha/2}$（下侧）和 $\chi^2_{\alpha/2}$（上侧）。
📝 真题：薄膜厚度（2022-2023 第九题，12分）— 最经典考试题

某薄膜厚度服从正态分布。随机抽 9 片，测得 s² = 0.25。按规定方差不应超过 0.04。
（1）α=0.05，双侧检验 σ² = 0.04？（2）α=0.05，右侧检验 σ² ≤ 0.04？（数据仅为示例，原题以回忆为准）

解（1）双侧检验

① H₀: σ² = 0.04，H₁: σ² ≠ 0.04

② $\chi^2 = \frac{(9-1) \times 0.25}{0.04} = \frac{2}{0.04} = 50$

③ 查 $\chi^2(8)$ 表：$\chi^2_{0.975}(8) = 2.180$，$\chi^2_{0.025}(8) = 17.535$

④ $\chi^2 = 50 > 17.535$ → 拒绝 H₀

⑤ 认为方差与 0.04 有显著差异。

解（2）右侧检验

① H₀: σ² ≤ 0.04，H₁: σ² > 0.04

② $\chi^2 = 50$（同上）

③ $\chi^2_{0.05}(8) = 15.507$

④ $\chi^2 = 50 > 15.507$ → 拒绝 H₀

⑤ 认为方差显著超过 0.04。

⚠️ 关键考点 此题在这个示例数据下双侧和右侧都拒绝 H₀，但考试中可能出现双侧接受而右侧拒绝的情况（当 $\chi^2$ 落在 $\chi^2_{0.025}$ 和 $\chi^2_{0.05}$ 之间时）。这体现了单侧检验比双侧检验更容易拒绝 H₀ 的原理。

§4 检验类型选择决策树

拿到一道题，问自己三个问题： Q1: 检验的是均值 μ 还是方差 σ²？ ├── 检验 μ → Q2 └── 检验 σ² → χ² 检验，统计量 $\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$ Q2: σ² 已知还是未知？ ├── σ² 已知 → Z 检验（U 检验），统计量 $Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ └── σ² 未知 → t 检验，统计量 $T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$（最常见！） Q3: 双侧还是单侧？看 H₁ 的方向 ├── H₁: ≠ → 双侧，拒绝域 $|\cdot| \ge$ 临界值（双侧分位点） ├── H₁: < → 左侧，拒绝域 $\cdot \le -$临界值（单侧分位点） └── H₁: > → 右侧，拒绝域 $\cdot \ge$ 临界值（单侧分位点）
附：双正态总体
检验对象条件统计量分布
μ₁ − μ₂σ₁², σ₂² 已知ZN(0,1)
μ₁ − μ₂σ₁² = σ₂² 未知T（合并方差）t(n₁+n₂−2)
σ₁² / σ₂²μ₁, μ₂ 未知F = S₁²/S₂²F(n₁−1, n₂−1)

F 检验尚未考过，了解即可。

§5 通用解题五步法

  1. 提出 H₀ 和 H₁

    等号在 H₀，确定是双侧还是单侧（看题目问法：「有无差异/变化」→ 双侧，「高于/超过」→ 右侧，「低于/不足」→ 左侧）

  2. 选择合适的统计量，确定分布

    用决策树（§4）：σ² 已知 → Z~N(0,1)；σ² 未知 → T~t(n−1)；检验方差 → χ²~χ²(n−1)

  3. 查表得临界值

    注意是查 z 表 / t 表 / χ² 表，双测用 α/2，单测用 α。t 分布自由度 df = n−1。

  4. 代入数据，计算统计量观测值

    把 x̄, μ₀, σ（或 S）, n 代入公式。注意 S 是样本标准差，σ 是总体标准差。

  5. 比较，下结论

    观测值落入拒绝域 → 拒绝 H₀（差异显著）；落入接受域 → 不能拒绝 H₀（差异不显著，不等于证明 H₀ 正确）

§6 三张速查表

表 1：三种检验对比

检验适用统计量分布自由度
Z（U）检验 σ² 已知，检验 μ $Z = \dfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ N(0,1)—
t 检验 σ² 未知，检验 μ $T = \dfrac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$ tn−1
χ² 检验 检验 σ² $\chi^2 = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$ χ²n−1
F 检验 比较两个方差 $F = S_1^2 / S_2^2$ F(n₁−1, n₂−1)

表 2：拒绝域公式汇总

检验方向Z 检验t 检验χ² 检验
双侧 $|Z| \ge z_{\alpha/2}$ $|T| \ge t_{\alpha/2}(n-1)$ $\chi^2 \le \chi^2_{1-\alpha/2}$ 或 $\chi^2 \ge \chi^2_{\alpha/2}$
左侧 $Z \le -z_\alpha$ $T \le -t_\alpha(n-1)$ $\chi^2 \le \chi^2_{1-\alpha}$
右侧 $Z \ge z_\alpha$ $T \ge t_\alpha(n-1)$ $\chi^2 \ge \chi^2_\alpha$

表 3：常用临界值（必背）

Z 分布（正态）
z₀.₀₂₅= 1.96
z₀.₀₅= 1.645
z₀.₀₁= 2.326
z₀.₀₀₅= 2.575
t 分布（选摘）
t₀.₀₂₅(8)= 2.306
t₀.₀₂₅(9)= 2.262
t₀.₀₅(8)= 1.860
t₀.₀₅(9)= 1.833
t₀.₀₁(8)= 2.896
χ² 分布（选摘，df=8）
χ²₀.₉₇₅(8)= 2.180
χ²₀.₉₅(8)= 2.733
χ²₀.₀₅(8)= 15.507
χ²₀.₀₂₅(8)= 17.535
🧠 记忆公式：

z₀.₀₂₅ = 1.96（95% 置信区间的 1.96）→ z₀.₀₅ ≈ 1.645。双侧 α=0.05 用 1.96，单侧 α=0.05 用 1.645。

t 分布临界值 > 对应 z 值（因为 t 尾部更厚），且 df 越小差越大。t₀.₀₂₅(9)=2.262 > 1.96。