概率分布考频统计

连续 正态分布 N(μ,σ²) 5/5 · 分布之王

正态分布以"显式"和"隐式"两种方式覆盖所有试卷。显式：直接给X~N(μ,σ²)；隐式：CLT近似、置信区间、假设检验均假设正态总体。

• P1 22-23A · Q3(10分)+Q8(10分)+Q9(12分)+填5(3分) — Q3全概率（电压N(220,25²)）；Q8均值+方差CI（正态总体）；Q9 χ²检验；填5正态样本DT。
• P2 23-24A · Q6(12分)+Q8(8分)+Q9(10分)+填4(3分) — Q6二维正态X~N(1,3²),Y~N(0,4²),ρ=-1/2→EZ,DZ,ρ_XZ；Q8均值CI；Q9 z检验。
• P3 24-25A · 填4(3)+选3(3)+选5(3)+Q9(10) — 填4切比雪夫（X~N(0,4²),Y~N(2,5²)）；选3抽样分布t(n-1)；选5估计量有效性；Q9 t检验。
• P4 25-26一上B · 填2(3)+填4(3)+选5(3)+Q5(8)+Q9(8) — 填2 N(1,4)求中位数a=1；填4假设检验阈值；选5 t→F；Q5均值CI；Q9 t检验。
• P5 25-26阶 · 填3(3分) — N(1,4)→P{X≥a}=0.5→a=1（中位数性质）。阶段考无统计，正态出场最少。

🔥 五大考察形式：①全概率/贝叶斯背景（用正态算先验概率）②二维正态协方差/相关系数（独立⇔ρ=0）③CLT的目标分布 ④置信区间（t/z公式前提是正态总体）⑤假设检验（z/t/χ²检验前提是正态总体）。高频Φ值：Φ(1.96)=0.975, Φ(2)=0.977, Φ(1.667)=0.952, Φ(0.8)=0.788。

连续 均匀分布 U(a,b) 4/5 · 高频

• P1 22-23A · 选择4(3分) — X,Y i.i.d.~U[0,1]，P{X²+Y²≤1}=π/4。二维均匀+几何概型。
• P3 24-25A · 填空3(3分) + Q4(8分大题) — 填空X~U(1,3)→DX=1/3；大题X~U[a,b]已知P{04}=1/2→求a=-4,b=8→F(x)。
• P4 25-26一上B — 未直接出现。
• P5 25-26阶 · 填空2(3分) — X~U(0,2)→Y=X²→f_Y(y)=1/(4√y)。均匀+变量变换。

📝 均匀分布考察形式灵活多变：几何概型、参数反求、变量变换、方差计算——没有固定套路，需要理解本质。EX=(a+b)/2, DX=(b-a)²/12。

连续 指数分布 Exp(λ) 3/5 · 高频

• P2 23-24A · Q4(12分大题) — 等待时间 f(x)=(1/3)e^(-x/3), x>0。(1)P{X>9}=e^(-3)；(2)5次去银行Y~B(5,e^(-3)),P{Y=0}；(3)Z=√X的密度。
• P3 24-25A · 填空3(3分) — Y~E(1)，D(X-2Y+3)=DX+4DY（独立）。EX=1/λ=1, DX=1/λ²=1。
• P1/P4/P5：未直接出现（P5阶段考未涉及）。

📝 指数分布大题（P2 Q4）是经典综合题——无记忆性→二项分布→变量变换，三合一。记住P{X>t}=e^(-λt), EX=1/λ, DX=1/λ²。

连续 拉普拉斯分布（双边指数） 1/5

• P1 22-23A · Q4(9分大题) — f(x)=ae^(-|x|), -∞

📝 双边指数密度的关键：绝对值→分段积分。EX=0（奇函数），DX=E(X²)=2。

连续 三角函数型密度 1/5

• P5 25-26阶 · Q4(15分大题) — f(x)=a·cos x, |x|≤π/2。(1)a=1/2；(2)F(x)=½(sin x+1), -π/2≤x<π/2；(3)P{0

📝 阶段考专属大题。此类"有限区间+非常规函数"要会规范性积分：∫cos θ dθ = sin θ。

连续 Pareto型分布 1/5

• P2 23-24A · Q7(10分大题) — F(x;α)=1-x^(-α), x>1。求导得f(x)=αx^(-α-1)。矩估计：EX=α/(α-1)（需α>1）→α̂=X̄/(X̄-1)。MLE：L(α)=α^n·(∏x_i)^(-α-1)→α̂=n/ΣlnX_i。

📝 先由F(x)求导得f(x)是关键第一步。矩估计+MLE双考是标配。EX=∫_1^∞ x·αx^(-α-1)dx=α/(α-1)。

连续 幂函数型密度 2/5 · 中频

• P3 24-25A · Q7(10分大题) — f(x;θ)=θx^(θ-1), 00。矩估计：EX=θ/(θ+1)→θ̂=X̄/(1-X̄)。MLE：L(θ)=θ^n·(∏x_i)^(θ-1)→θ̂=-n/ΣlnX_i。
• P4 25-26一上B · Q8(10分大题) — f(x;θ)=(1/θ)x^((1-θ)/θ), 0

📝 幂函数密度在MLE大题中高频出现（2/5）。特征：定义域(0,1)，密度是x的某次幂。考题关键是写对似然函数→取对数→求导的机械流程。

连续 柯西分布 1/5

• P4 25-26一上B · 选择4(3分) — f(x)=1/(π(1+x²))，Y=2X，求f_Y(y)。公式法：f_Y(y)=f_X(y/2)/|2|=(1/2)·1/(π(1+(y/2)²))=2/(π(4+y²))。

📝 柯西分布仅以变量函数变换的选择题出现。注意柯西分布期望不存在（积分发散）——此题恰好避开这个坑，只考变换。