二维离散型随机变量精讲

联合分布 · 边缘分布 · 独立性 · 条件分布 · 协方差 · 相关系数 · 真题演练

📑 目录

联合分布律
边缘分布
独立性判断
条件分布
协方差与相关系数
真题精讲
解题模板 + 易错点

1. 联合分布律

定义设

(X,Y)

为二维离散型随机变量，所有可能取值为

(x_i, y_j)

，则称 $$P(X = x_i,\; Y = y_j) = p_{ij} \qquad (i,j = 1,2,\dots)$$ 为 联合分布律（联合概率质量函数）。

性质两条基本性质

非负性： $p_{ij} \geq 0$ 对所有 $i,j$ 成立
归一性： $\displaystyle\sum_{i}\sum_{j} p_{ij} = 1$

联合分布表的标准写法

将 $X$ 取值放行、 $Y$ 取值放列，交叉格放 $p_{ij}$ ，右侧和下方留出边缘：

X \ Y	Y			P(X=x_i)
X \ Y	y₁	y₂	y₃	P(X=x_i)
x₁	p₁₁	p₁₂	p₁₃	p₁·
x₂	p₂₁	p₂₂	p₂₃	p₂·
P(Y=y_j)	p·₁	p·₂	p·₃	1

表1：联合分布表标准格式 — 行求和得 X 边缘，列求和得 Y 边缘，右下角为总和 1

2. 边缘分布

定义从联合分布中"积掉"一个变量，得到另一个变量的分布： $$ P(X = x_i) = p_{i\cdot} = \sum_{j} p_{ij} \qquad \text{（行求和）} $$ $$ P(Y = y_j) = p_{\cdot j} = \sum_{i} p_{ij} \qquad \text{（列求和）} $$

📌 操作要点

边缘分布写在联合分布表的 右侧（X 的边缘）和 下方（Y 的边缘）
行求和 = $p_{i\cdot}$ ，列求和 = $p_{\cdot j}$
两个边缘各自归一： $\sum_i p_{i\cdot} = \sum_j p_{\cdot j} = 1$

示例

X \ Y	0	1	2	P(X)
0	0.10	0.15	0.05	0.30
1	0.20	0.25	0.05	0.50
2	0.05	0.10	0.05	0.20
P(Y)	0.35	0.50	0.15	1.00

表2：完整示例 — 行求和=0.30, 0.50, 0.20；列求和=0.35, 0.50, 0.15

3. 独立性判断

充要条件

X

与

Y

独立 ⟺ $$p_{ij} = p_{i\cdot} \times p_{\cdot j} \quad \text{对所有 } i,j \text{ 成立}$$

⚠️ 关键：只要有一格不相等，就不独立。
不要因为"大多数格子满足"就判断为独立——必须逐格验证。

判断步骤

先求两个边缘分布 $p_{i\cdot}$ 和 $p_{\cdot j}$
对每个 $(i,j)$ 检查 $p_{ij} \stackrel{?}{=} p_{i\cdot} \cdot p_{\cdot j}$
全等 ⇒ 独立；存在一格不等 ⇒ 不独立

反例

在表2中，若 X 与 Y 独立，应有：

$p_{00} = p_{0\cdot} \times p_{\cdot 0} = 0.30 \times 0.35 = 0.105 \neq 0.10$

第一格就不等 ⇒ 不独立。逐格验算确认：

(i,j)	pᵢⱼ	pᵢ· × p·ⱼ	相等?
(0,0)	0.10	0.105	✗
(0,1)	0.15	0.150	✓
(0,2)	0.05	0.045	✗

4. 条件分布

定义在

X = x_i

条件下，

Y

的条件分布为： $$P(Y = y_j \mid X = x_i) = \frac{P(X=x_i,\; Y=y_j)}{P(X=x_i)} = \frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}$$ 前提：

p_{i\cdot} > 0

（边缘概率为正）

易错点：条件分布也是一个概率分布，必须满足和为 1： $$\sum_j P(Y = y_j \mid X = x_i) = \frac{\sum_j p_{ij}}{p_{i\cdot}} = \frac{p_{i\cdot}}{p_{i\cdot}} = 1$$

示例：从表2计算 P(Y | X=0)

Y	0	1	2	∑
P(Y \| X=0)	0.10/0.30 ≈ 0.333	0.15/0.30 = 0.500	0.05/0.30 ≈ 0.167	1.000

X=0 条件下 Y 的条件分布

5. 协方差与相关系数

5.1 期望的离散求法

$$ E(X) = \sum_i x_i \cdot p_{i\cdot} = \sum_i \sum_j x_i \cdot p_{ij} $$ $$ E(Y) = \sum_j y_j \cdot p_{\cdot j} = \sum_i \sum_j y_j \cdot p_{ij} $$ $$ E(XY) = \sum_i \sum_j x_i y_j \cdot p_{ij} $$

注意：求

E(X)

用行求和后的边缘

p_{i\cdot}

，也可直接从联合表加权。
求

E(XY)

必须从联合分布出发，逐格乘积再求和。

5.2 协方差

$$ \operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y) $$ 等价展开式（用于理论推导）： $$ \operatorname{Cov}(X,Y) = E\big[(X - EX)(Y - EY)\big] $$

5.3 相关系数

$$ \rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X) \cdot D(Y)}} $$ 其中

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

，

D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2

5.4 独立与相关的关系

命题	结论
X, Y 独立 ⇒ Cov=0（不相关）	✅ 成立
Cov=0（不相关） ⇒ X, Y 独立	❌ 不成立

核心记忆：
独立 ⇒ 不相关（充分非必要）
不相关 ⇏ 独立（不相关只是"无线性关系"，可能存在非线性依赖）

反例：不相关但不独立

设 X 对称分布：P(X=−1)=P(X=0)=P(X=1)=1/3，Y = X²，则：

$E(XY) = E(X^3) = E(X) = 0$ （奇函数对称，期望为0）
$\operatorname{Cov}(X,Y) = E(X^3) - E(X) \cdot E(X^2) = 0 - 0 = 0$
但 $Y = X^2$ 完全由 X 决定 ⇒ 不独立

∴ 不相关 ≠ 独立

6. 真题精讲

题A：给定边缘分布和协方差，反推联合分布

（2024–2025 第五题，10分） 设二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的可能取值为 $(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$ ，已知：

$P(X=0) = 0.4$ ， $P(X=1) = 0.6$
$P(Y=0) = 0.5$ ， $P(Y=1) = 0.5$
$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0.1$

（1）求 $(X,Y)$ 的联合分布律；（2）判断 X 与 Y 是否独立；（3）求 $\rho_{XY}$

📝 详解

（1）求联合分布律

设 $p_{00}=a,\; p_{01}=b,\; p_{10}=c,\; p_{11}=d$ 。由边缘分布：

行约束：

P(X=0): $a + b = 0.4$ ①

P(X=1): $c + d = 0.6$ ②

列约束：

P(Y=0): $a + c = 0.5$ ③

P(Y=1): $b + d = 0.5$ ④

4个方程3个独立（①+②=③+④=1）。引入协方差条件：

先求 E(X)、E(Y)：

$\displaystyle E(X) = 0 \times 0.4 + 1 \times 0.6 = 0.6$

$\displaystyle E(Y) = 0 \times 0.5 + 1 \times 0.5 = 0.5$

E(XY)：只有 $X=1,Y=1$ 时乘积为1：

$\displaystyle E(XY) = 0\!\cdot\!0\!\cdot\!a + 0\!\cdot\!1\!\cdot\!b + 1\!\cdot\!0\!\cdot\!c + 1\!\cdot\!1\!\cdot\!d = d$

由 Cov = 0.1：

$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - EX \cdot EY = d - 0.6 \times 0.5 = d - 0.30 = 0.1$

⇒ $d = 0.40$

回代求解：

由①: $a = 0.4 - b$ ；由②: $c = 0.6 - d = 0.2$ ；由③: $a = 0.5 - c = 0.3$

⇒ $a = 0.30,\; b = 0.10,\; c = 0.20,\; d = 0.40$

X \ Y	0	1	P(X)
0	0.30	0.10	0.4
1	0.20	0.40	0.6
P(Y)	0.5	0.5	1

（2）判断独立性

检验第一格： $p_{00} = 0.30 \stackrel{?}{=} p_{0\cdot} \times p_{\cdot 0} = 0.4 \times 0.5 = 0.20$

$0.30 \neq 0.20$ ⇒ X 与 Y 不独立

（3）求相关系数

$E(X^2) = 0^2\!\times\!0.4 + 1^2\!\times\!0.6 = 0.6$

$D(X) = 0.6 - 0.6^2 = 0.24$

$E(Y^2) = 0^2\!\times\!0.5 + 1^2\!\times\!0.5 = 0.5$

$D(Y) = 0.5 - 0.5^2 = 0.25$

$\displaystyle \rho_{XY} = \frac{0.1}{\sqrt{0.24 \times 0.25}} = \frac{0.1}{\sqrt{0.06}} \approx 0.408$

题B：独立离散变量，min / max 分布

（2022–2023 填空3；2024–2025 填空6） 设 X, Y 独立同分布于参数为 p 的 0–1 分布：

$P(X=1) = P(Y=1) = p,\quad P(X=0) = P(Y=0) = 1-p = q$

令 $U = \min(X,Y)$ ， $V = \max(X,Y)$ 。

（1）求 (U,V) 的联合分布律；（2）求 U 和 V 的边缘分布。

📝 详解

（1）(U,V) 的联合分布律

X, Y 独立，联合分布：

X \ Y	0	1
0	q²	pq
1	pq	p²

映射到 (U, V)：

(X, Y)	概率	U = min	V = max
(0, 0)	q²	0	0
(0, 1)	pq	0	1
(1, 0)	pq	0	1
(1, 1)	p²	1	1

合并相同 (U, V) 的概率：

U \ V	0	1
0	q²	2pq
1	0	p²

注意：U=1, V=0 不可能（min > max 无意义），概率为 0

（2）边缘分布

U = min(X,Y)：

$P(U=0) = q^2 + 2pq = q(q + 2p)$

$P(U=1) = p^2$

V = max(X,Y)：

$P(V=0) = q^2$

$P(V=1) = 2pq + p^2 = p(2q + p) = 1 - q^2$

题C：i.i.d. 离散变量，求相关系数

设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 独立同分布于 0–1 分布 $B(1, p)$ 。

令 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ ，求 $\operatorname{Cov}(X_1, \bar{X})$ 和 $\rho(X_1, \bar{X})$ 。

📝 详解

利用协方差的线性性质：

$\displaystyle \operatorname{Cov}(X_1, \bar{X}) = \operatorname{Cov}\!\left(X_1, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \operatorname{Cov}(X_1, X_i)$

由于独立， $\operatorname{Cov}(X_1, X_i) = 0$ （ $i \neq 1$ ）； $\operatorname{Cov}(X_1, X_1) = D(X_1) = pq$ 。

∴ $\displaystyle \operatorname{Cov}(X_1, \bar{X}) = \frac{1}{n} \cdot pq$

相关系数：

$D(\bar{X}) = D\!\left(\frac{1}{n}\sum X_i\right) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot pq = \frac{pq}{n}$

$\displaystyle \rho(X_1, \bar{X}) = \frac{\operatorname{Cov}(X_1, \bar{X})}{\sqrt{D(X_1) \cdot D(\bar{X})}} = \frac{pq/n}{\sqrt{pq \cdot pq/n}} = \frac{pq/n}{pq/\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$

结论：

\rho(X_1, \bar{X}) = \frac{1}{\sqrt{n}}

，随 n 增大而减小——样本量越大，单个观测与均值的相关性越弱。

7. 解题模板 + 易错点

7.1 标准解题模板

题型一：联合分布 → 边缘 → 独立性 → 相关系数

写联合分布表：画出行列结构，填入已知概率
求边缘分布：行求和 → $p_{i\cdot}$ ；列求和 → $p_{\cdot j}$
判独立：逐格验证 $p_{ij} = p_{i\cdot} \cdot p_{\cdot j}$
求期望： $E(X), E(Y), E(X^2), E(Y^2), E(XY)$
求方差： $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
求协方差： $\operatorname{Cov} = E(XY) - EX \cdot EY$
求相关系数： $\rho = \operatorname{Cov}/\sqrt{DX \cdot DY}$

题型二：边缘 + 条件 → 反推联合分布

设未知概率（通常设 2×2 表的四个格子为 a,b,c,d）
列方程：行和、列和约束 + 给定条件（协方差/条件概率等）
解方程组：先利用 Cov 条件锁定一格，再回代
填表验证：检查非负、归一、边缘是否匹配

7.2 易错点汇总

#	易错点	正确做法
1	E(XY) 直接用边缘分布算	必须从联合分布出发：∑∑ xᵢyⱼ·pᵢⱼ
2	独立判断只看一两格	逐格验证，只要一格不等就不独立
3	不相关 ⇒ 独立	不相关 ≠ 独立（反例：Y = X²）
4	条件概率未除以边缘概率	P(Y\|X) = pᵢⱼ / pᵢ·，分母不是 1
5	忘记检验 pᵢ· > 0 才能做条件	分母为 0 时条件分布无定义
6	∑∑pᵢⱼ 忘记归一性检验	计算结果后必须验证总和=1
7	min/max 映射忽略不可能事件	U=1, V=0 概率为 0（min 不可能大于 max）
8	Cov 符号算反	Cov = E(XY) − EX·EY，减号不能写成加号

7.3 核心公式速查

公式	表达式
联合分布	$P(X=x_i, Y=y_j) = p_{ij}$
边缘分布 X	$p_{i\cdot} = \sum_j p_{ij}$
边缘分布 Y	$p_{\cdot j} = \sum_i p_{ij}$
独立充要条件	$p_{ij} = p_{i\cdot} \cdot p_{\cdot j}$ （全部 i,j）
条件分布	$P(Y=y_j\|X=x_i) = p_{ij} / p_{i\cdot}$
期望	$E(X) = \sum_i x_i p_{i\cdot}$ ； $E(XY) = \sum_i\sum_j x_i y_j p_{ij}$
方差	$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
协方差	$\operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - EX \cdot EY$
相关系数	$\rho_{XY} = \operatorname{Cov}(X,Y) / \sqrt{DX \cdot DY}$
不相关 ⇏ 独立	反例：Y = X² 时 Cov=0 但完全依赖
Cov 线性性质	$\operatorname{Cov}(aX+b, cY+d) = ac \cdot \operatorname{Cov}(X,Y)$

二维离散型随机变量 精讲

📑 目录

1. 联合分布律

性质 两条基本性质

联合分布表的标准写法

2. 边缘分布

📌 操作要点

示例

3. 独立性判断

判断步骤

反例

4. 条件分布

示例：从表2计算 P(Y | X=0)

5. 协方差与相关系数

5.1 期望的离散求法

5.2 协方差

5.3 相关系数

5.4 独立与相关的关系

反例：不相关但不独立

6. 真题精讲

题A：给定边缘分布和协方差，反推联合分布

📝 详解

（1）求联合分布律

（2）判断独立性

（3）求相关系数

题B：独立离散变量，min / max 分布

📝 详解

（1）(U,V) 的联合分布律

（2）边缘分布

题C：i.i.d. 离散变量，求相关系数

📝 详解

7. 解题模板 + 易错点

7.1 标准解题模板

题型一：联合分布 → 边缘 → 独立性 → 相关系数

题型二：边缘 + 条件 → 反推联合分布

7.2 易错点汇总

7.3 核心公式速查

二维离散型随机变量精讲

性质两条基本性质