设离散型随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $x_k\;(k=1,2,\dots)$，称
$$P\{X = x_k\} = p_k,\quad k = 1,2,\dots$$为 $X$ 的 分布律（或概率质量函数）。
非负性 $p_k \ge 0,\; k = 1,2,\dots$
归一性 $\displaystyle\sum_{k} p_k = 1$
| $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $\cdots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $p_1$ | $p_2$ | $\cdots$ | $p_n$ |
表格法直观清晰，是考试中写分布律的首选方式。
又称伯努利分布，是一次伯努利试验的结果。$X=1$ 表示"成功"，$X=0$ 表示"失败"。
典型场景：抛一枚硬币正面朝上概率 $p$，$X$ 为正面朝上的次数。
$n$ 重伯努利试验中成功次数的分布。$n=1$ 时退化为 0-1 分布。
设 $X \sim B(n,p)$，已知 $EX=2.4$，$DX=1.44$，求 $n$ 和 $p$。
设 $X \sim B(2,p)$，$Y \sim B(4,p)$，已知 $P\{X \ge 1\} = \dfrac{5}{9}$，求 $P\{Y \ge 1\}$。
描述单位时间/空间内随机事件发生次数。二项分布 $n\to\infty,\;p\to0,\;np\to\lambda$ 的极限。
设 $X_1,X_2,\dots,X_n$ i.i.d. $\sim P(\lambda)$，比较 $\overline{X}$ 与 $S^2$ 的期望。
描述伯努利试验中首次成功所需的试验次数。无记忆性是其核心特征。
射击命中概率 $p=0.3$，每次射击命中得 5 分、不中得 -2 分，连续射击直到命中为止。求得分 $Y$ 的数学期望。
这是填空题最高频的考点。核心方程只有一个：
类型一：等比级数型
若 $P\{X=n\} = a \cdot r^n\;(n=0,1,2,\dots)$，则
$$\sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n = \frac{a}{1-r} = 1 \quad\Rightarrow\quad a = 1-r \quad(|r| < 1)$$若 $n$ 从 1 开始：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a \cdot r^n = \frac{a \cdot r}{1-r} = 1$。
设 $P\{X=n\} = 3a^n\;(n=1,2,\dots)$，求 $a$ 的值。
类型二：有限项型
分布律只含有限个 $p_k$，直接列出 $\sum_{k=1}^n p_k = 1$ 求解。
类型三：带阶乘型
$P\{X=k\} = \dfrac{c}{k!}$ 型：$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{c}{k!} = c \cdot e = 1 \Rightarrow c = e^{-1}$。
核心是识别级数和：$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$。
已知 $X$ 的分布律，求 $Y=g(X)$ 的分布律：
设 $X,Y$ i.i.d.，分布函数分别为 $F_X$、$F_Y$：
$$F_{\min}(z) = 1 - [1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$$ $$F_{\max}(z) = F_X(z) \cdot F_Y(z)$$对离散变量，可直接用分布律计算。
$X,Y$ i.i.d.，分布律 $P(X=0)=0.4,\;P(X=1)=0.6$，求 $M=\max(X,Y)$ 和 $N=\min(X,Y)$ 的分布律。
$E(aX+b) = aEX + b$
$E(X+Y) = EX + EY$（无条件成立）
$E(XY) = EX \cdot EY$（$X,Y$ 独立时）
$D(aX+b) = a^2 DX$
$D(X \pm Y) = DX + DY$（$X,Y$ 独立时）
袋中有 5 个球（3 红 2 白），有放回摸 3 次，$X$ 为红球数。求 $EX$。
| 分布 | 记号 | $P(X=k)$ | $EX$ | $DX$ |
|---|---|---|---|---|
| 0-1分布 | $B(1,p)$ | $p^k(1-p)^{1-k}$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| 二项分布 | $B(n,p)$ | $C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| 泊松分布 | $P(\lambda)$ | $\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 几何分布 | $Ge(p)$ | $(1-p)^{k-1}p$ | $\dfrac{1}{p}$ | $\dfrac{1-p}{p^2}$ |
⚠ 如果是四大分布之一，直接套速查表公式，不要从头推导。