二维连续型随机变量 精讲

1. 联合概率密度

定义

设 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，若存在非负可积函数 $f(x,y)$，使得对平面上任意区域 $D$ 有

$$P\big((X,Y)\in D\big) = \iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

则称 $f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数。

归一化条件
$$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 1$$

这是确定密度函数中待定常数（如 $a$）的核心方程。

几何意义：概率等于曲面 $z=f(x,y)$ 下方、区域 $D$ 上方的柱体体积。

2. 边缘密度

定义
$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,\mathrm{d}y$$
$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,\mathrm{d}x$$
积分限由定义域决定，不是死记 $(-\infty,+\infty)$！

实际积分时，对固定 $x$，$y$ 的取值范围由 $f(x,y)>0$ 的区域确定。三角区域是高频考点。

示例：三角区域

设 $(X,Y)$ 在区域 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; 0\le y\le x\}$ 上服从均匀分布，则

$$f_X(x) = \int_0^x \frac{1}{|D|}\,\mathrm{d}y = \frac{x}{|D|} \quad (0\le x\le 1)$$
$$f_Y(y) = \int_y^1 \frac{1}{|D|}\,\mathrm{d}x = \frac{1-y}{|D|} \quad (0\le y\le 1)$$

注意积分限：$y$ 从 $0$ 到 $x$，$x$ 从 $y$ 到 $1$。

3. 独立性判断

充要条件
$$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) \quad \text{几乎处处成立}$$

即：独立 $\iff$ 联合密度 = 边缘密度乘积。

判断步骤

  1. 求出 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$；
  2. 计算乘积 $f_X(x)\cdot f_Y(y)$；
  3. 与 $f(x,y)$ 比较：若恒等则独立，否则不独立。
  4. 注意定义域是否可分离：若定义域不是矩形（如三角区域），必不独立。
定义域非矩形（如 $0\le y\le x\le 1$）→ 直接判定不独立，无需计算。

4. 协方差与相关系数

期望公式
$$E(X) = \iint_{\mathbb{R}^2} x\cdot f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
$$E(Y) = \iint_{\mathbb{R}^2} y\cdot f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
$$E(XY) = \iint_{\mathbb{R}^2} xy\cdot f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

$E(X^2)$、$E(Y^2)$ 同理。方差由 $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ 计算。

协方差 & 相关系数
$$\operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$$
$$\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$$

$|\rho_{XY}|\le 1$；$\rho_{XY}=0$ 称 $X,Y$ 不相关。

独立 $\implies$ 不相关，但反之不然！ 不相关只排除线性关系，非线性依赖依然可能存在。

5. 卷积公式 $Z=X+Y$

公式
$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,\,z-x)\,\mathrm{d}x$$

等价地：$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y,\,y)\,\mathrm{d}y$。

关键步骤

  1. 写出 $f(x,z-x)$ 的表达式；
  2. 确定使被积函数非零的 $x$ 范围（由原来的定义域 + $z-x$ 的条件联合决定）；
  3. 对 $z$ 分段讨论——这是最容易丢分的环节。

分段技巧

设原定义域为 $0\le x\le 1,\; 0\le y\le 1$，则

6. 最大值/最小值分布（独立时）

最大值 $M=\max(X,Y)$
$$F_M(z) = P(M\le z) = P(X\le z,\;Y\le z) = F_X(z)\,F_Y(z)$$
$$f_M(z) = F_M'(z) = f_X(z)F_Y(z) + F_X(z)f_Y(z)$$
最小值 $N=\min(X,Y)$
$$F_N(z) = 1 - P(N\gt z) = 1 - P(X\gt z,\; Y\gt z) = 1 - [1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$$
$$f_N(z) = f_X(z)[1-F_Y(z)] + [1-F_X(z)]f_Y(z)$$
以上公式以 $X,Y$ 独立为前提。

7. 真题精讲

题A：$f(x,y)=x+ay$ 型 2022-2023 第六题 · 15分

题目：设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$$f(x,y)=\begin{cases} x+ay, & 0\le x\le 1,\; 0\le y\le 1 \\[2pt] 0, & \text{其他} \end{cases}$$

(1) 求 $a$；(2) 求 $\operatorname{Cov}(X,Y)$；(3) 判断独立性；(4) 求 $Z=X+Y$ 的密度。

(1) 求 $a$

由归一化条件：

$$\iint f = \int_0^1\!\int_0^1 (x+ay)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^1 \left[\frac{x^2}{2}+ayx\right]_{x=0}^{1}\mathrm{d}y = \int_0^1 \left(\frac12 + ay\right)\mathrm{d}y = \frac12 + \frac{a}{2} = \frac{1+a}{2} = 1$$
$$\therefore\;\; a = 1,\qquad f(x,y)=x+y\;(0\le x,y\le 1)$$

(2) 求 $\operatorname{Cov}(X,Y)$

$$\begin{aligned} E(X) &= \int_0^1\!\int_0^1 x(x+y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^1\!\int_0^1 (x^2+xy)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \int_0^1\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2 y}{2}\right]_{0}^{1}\mathrm{d}y = \int_0^1\left(\frac13+\frac{y}{2}\right)\mathrm{d}y = \frac13+\frac14 = \frac{7}{12} \end{aligned}$$

由对称性 $E(Y)=E(X)=\dfrac{7}{12}$。

$$\begin{aligned} E(XY) &= \int_0^1\!\int_0^1 xy(x+y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^1\!\int_0^1 (x^2y+xy^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \int_0^1\left[\frac{x^3 y}{3}+\frac{x^2 y^2}{2}\right]_{0}^{1}\mathrm{d}y = \int_0^1\left(\frac{y}{3}+\frac{y^2}{2}\right)\mathrm{d}y = \frac16+\frac16 = \frac13 \end{aligned}$$
$$\operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) = \frac13 - \frac{49}{144} = \frac{48-49}{144} = -\frac{1}{144}$$

(3) 独立性

$$\begin{aligned} f_X(x) &= \int_0^1 (x+y)\,\mathrm{d}y = x+\frac12 \quad (0\le x\le 1) \\ f_Y(y) &= \int_0^1 (x+y)\,\mathrm{d}x = y+\frac12 \quad (0\le y\le 1) \end{aligned}$$
$$f_X(x)\cdot f_Y(y) = \left(x+\frac12\right)\!\left(y+\frac12\right) = xy + \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac14 \neq x+y = f(x,y)$$

$\therefore\;$ $X$ 与 $Y$ 不独立。

(4) $Z=X+Y$ 的密度

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,\,z-x)\,\mathrm{d}x$$

$f(x,z-x)\neq0 \iff 0\le x\le 1$ 且 $0\le z-x\le 1 \iff x\in[\max(0,z-1),\min(1,z)]$。

$z$ 的范围积分限$f_Z(z)$
$z\le 0$ 或 $z\ge 2$ — $0$
$0\lt z\le 1$ $[0,z]$ $\displaystyle\int_0^z (x+(z-x))\,\mathrm{d}x = \int_0^z z\,\mathrm{d}x = z^2$
$1\lt z\lt 2$ $[z-1,1]$ $\displaystyle\int_{z-1}^1 z\,\mathrm{d}x = z(2-z)$
$$f_Z(z)=\begin{cases} z^2, & 0\lt z\le 1 \\ z(2-z), & 1\lt z\lt 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

题B：$f(x,y)=2-x-y$ 型 2025-2026第一学期 第六题 · 12分

题目：设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$$f(x,y)=\begin{cases} 2-x-y, & 0\le x\le 1,\; 0\le y\le 1 \\[2pt] 0, & \text{其他} \end{cases}$$

(1) 判断 $X,Y$ 是否独立；(2) 判断 $X,Y$ 是否相关。

(1) 独立性

$$\begin{aligned} f_X(x) &= \int_0^1 (2-x-y)\,\mathrm{d}y = \left[2y - xy - \frac{y^2}{2}\right]_0^1 = \frac32 - x \quad (0\le x\le 1) \\[6pt] f_Y(y) &= \int_0^1 (2-x-y)\,\mathrm{d}x = \frac32 - y \quad (0\le y\le 1) \end{aligned}$$
$$f_X(x)\cdot f_Y(y)=\left(\frac32-x\right)\!\left(\frac32-y\right)=\frac94-\frac32x-\frac32y+xy \neq 2-x-y = f(x,y)$$

$\therefore\;$ 不独立。

(2) 相关性

$$\begin{aligned} E(X) &= \int_0^1 x\!\left(\frac32-x\right)\mathrm{d}x = \left[\frac{3}{4}x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac34 - \frac13 = \frac{5}{12} \\[6pt] E(Y) &= \frac{5}{12} \quad \text{(对称)} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} E(XY) &= \int_0^1\!\int_0^1 xy(2-x-y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^1\!\int_0^1 (2xy - x^2y - xy^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\[4pt] &= \int_0^1 \left[ x^2y - \frac{x^3y}{3} - \frac{x^2y^2}{2} \right]_{0}^{1}\mathrm{d}y = \int_0^1 \left(y - \frac{y}{3} - \frac{y^2}{2}\right)\mathrm{d}y \\[4pt] &= \int_0^1 \left(\frac{2y}{3} - \frac{y^2}{2}\right)\mathrm{d}y = \left[\frac{y^2}{3} - \frac{y^3}{6}\right]_0^1 = \frac13 - \frac16 = \frac16 \end{aligned}$$
$$\operatorname{Cov}(X,Y) = \frac16 - \frac{25}{144} = \frac{24-25}{144} = -\frac{1}{144}$$

$\operatorname{Cov}\neq 0$，$\therefore\;$ $X,Y$ 相关（$\rho_{XY}\neq 0$）。

注意：相关 $\implies$ 不独立，与题A的结论一致——$f(x,y)=x+y$ 和 $f(x,y)=2-x-y$ 均不独立且均相关。

题C：三角区域均匀分布 2024-2025 第八题 · 12分

题目：设 $(X,Y)$ 在区域 $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le 1\}$ 上服从均匀分布。求 $E(X),E(Y),D(X),D(Y),\operatorname{Cov}(X,Y),\rho_{XY}$。

$D$ 是腰长为 $1$ 的等腰直角三角形，面积 $|D|=\dfrac12$，故

$$f(x,y)=\begin{cases} 2, & 0\le y\le x\le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

期望

$$\begin{aligned} E(X) &= \iint_D 2x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^1\!\int_0^x 2x\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_0^1 2x\cdot x\,\mathrm{d}x = \int_0^1 2x^2\,\mathrm{d}x = \frac23 \\[6pt] E(Y) &= \int_0^1\!\int_0^x 2y\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \frac13 \end{aligned}$$

方差

$$\begin{aligned} E(X^2) &= \int_0^1\!\int_0^x 2x^2\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_0^1 2x^3\,\mathrm{d}x = \frac12 \\[6pt] E(Y^2) &= \int_0^1\!\int_0^x 2y^2\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{2x^3}{3}\,\mathrm{d}x = \frac16 \\[6pt] D(X) &= \frac12 - \left(\frac23\right)^2 = \frac12 - \frac49 = \frac{1}{18} \\[6pt] D(Y) &= \frac16 - \left(\frac13\right)^2 = \frac16 - \frac19 = \frac{1}{18} \end{aligned}$$

协方差与相关系数

$$\begin{aligned} E(XY) &= \int_0^1\!\int_0^x 2xy\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_0^1 x\cdot x^2\,\mathrm{d}x = \int_0^1 x^3\,\mathrm{d}x = \frac14 \\[6pt] \operatorname{Cov}(X,Y) &= \frac14 - \frac23\cdot\frac13 = \frac14 - \frac29 = \frac{1}{36} \\[6pt] \rho_{XY} &= \frac{1/36}{\sqrt{1/18}\cdot\sqrt{1/18}} = \frac{1/36}{1/18} = \frac12 \end{aligned}$$

$\rho_{XY}=\dfrac12$ 表明正相关——$X$ 大时 $Y$ 倾向于大（由三角区域 $y\le x$ 决定）。

题D：$f(x,y)=8xy$ 三角区域 2025-2026阶段考 第六题 · 15分

题目：设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$$f(x,y)=\begin{cases} 8xy, & 0\le y\le x\le 1 \\[2pt] 0, & \text{其他} \end{cases}$$

(1) 求 $\rho_{XY}$； (2) 判断 $X,Y$ 是否独立。

(1) 求 $\rho_{XY}$

边缘密度：

$$\begin{aligned} f_X(x) &= \int_0^x 8xy\,\mathrm{d}y = 4x\cdot x^2 = 4x^3 \quad (0\le x\le 1) \\[6pt] f_Y(y) &= \int_y^1 8xy\,\mathrm{d}x = 4y(1-y^2) \quad (0\le y\le 1) \end{aligned}$$

期望：

$$\begin{aligned} E(X) &= \int_0^1 x\cdot 4x^3\,\mathrm{d}x = \int_0^1 4x^4\,\mathrm{d}x = \frac45 \\[6pt] E(Y) &= \int_0^1 y\cdot 4y(1-y^2)\,\mathrm{d}y = \int_0^1 (4y^2-4y^4)\,\mathrm{d}y = \frac43 - \frac45 = \frac{8}{15} \\[6pt] E(XY) &= \int_0^1\!\int_0^x xy\cdot 8xy\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_0^1\!\int_0^x 8x^2y^2\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x \\ &= \int_0^1 8x^2\cdot\frac{x^3}{3}\,\mathrm{d}x = \frac83\int_0^1 x^5\,\mathrm{d}x = \frac{8}{18} = \frac49 \end{aligned}$$

方差：

$$\begin{aligned} E(X^2) &= \int_0^1 x^2\cdot 4x^3\,\mathrm{d}x = \int_0^1 4x^5\,\mathrm{d}x = \frac46 = \frac23 \\[6pt] E(Y^2) &= \int_0^1 y^2\cdot 4y(1-y^2)\,\mathrm{d}y = \int_0^1 (4y^3-4y^5)\,\mathrm{d}y = 1 - \frac46 = \frac13 \\[6pt] D(X) &= \frac23 - \frac{16}{25} = \frac{50-48}{75} = \frac{2}{75} \\[6pt] D(Y) &= \frac13 - \frac{64}{225} = \frac{75-64}{225} = \frac{11}{225} \end{aligned}$$

相关系数：

$$\begin{aligned} \operatorname{Cov}(X,Y) &= \frac49 - \frac45\cdot\frac{8}{15} = \frac49 - \frac{32}{75} = \frac{100-96}{225} = \frac{4}{225} \\[6pt] \rho_{XY} &= \frac{4/225}{\sqrt{2/75}\cdot\sqrt{11/225}} = \frac{4/225}{\sqrt{22/(75\cdot 225)}} = \frac{4}{\sqrt{22\cdot 75}} \approx 0.098 \end{aligned}$$

$\rho_{XY}$ 很小，但非零——存在弱的正线性相关。

(2) 独立性

$$f_X(x)\cdot f_Y(y) = 4x^3 \cdot 4y(1-y^2) = 16x^3y(1-y^2) \neq 8xy = f(x,y)$$

且定义域为三角区域（$0\le y\le x\le 1$），非矩形，直接判定不独立。

8. 解题模板 & 常见坑

模板：二维连续型随机变量完整求解流程

  1. 归一化求参数：$\iint f = 1$ → 解得待定常数。
  2. 求边缘密度：对 $y$ 积分得 $f_X$，对 $x$ 积分得 $f_Y$。
    注意积分限由定义域决定，不是 $(-\infty,+\infty)$。
  3. 求期望：$E(X)=\iint xf$，$E(Y)=\iint yf$，$E(XY)=\iint xyf$。
  4. 求方差：$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$。
  5. 求协方差与相关系数：$\operatorname{Cov}=E(XY)-EX\cdot EY$，$\rho=\operatorname{Cov}/\sqrt{DX\cdot DY}$。
  6. 判断独立性：检查 $f=f_X\cdot f_Y$。定义域非矩形直接判定不独立。
  7. 求 $Z=X+Y$ 的分布（若要求）：卷积公式 + 分段讨论。

常见坑

坑正确做法
积分限写成 $(-\infty,+\infty)$ 根据 $f(x,y)>0$ 的定义域确定实际积分限
$Z=X+Y$ 卷积不分段 画出 $x$ 和 $z-x$ 的限制区域，对 $z$ 分类讨论
认为不相关就是独立 独立 $\implies$ 不相关，但 $\rho=0$ 不能推出独立
定义域是矩形就认为独立 矩形定义域是独立的必要不充分条件，还需验证 $f=f_X\cdot f_Y$
忘记边缘密度的定义域 $f_X(x)$ 只在 $x$ 使 $f(x,y)>0$ 有 $y$ 可取时非零，写清楚 $x$ 范围
$\operatorname{Cov}$ 与 $\rho$ 符号混乱 $\rho$ 与 $\operatorname{Cov}$ 同号；$|\rho|\le 1$ 可作为验算
核心关系图
$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\;\text{(独立)} \;\Longrightarrow\; \rho_{XY}=0\;\text{(不相关)}$$

⇐ 不成立（反例：$Y=X^2$，$X\sim N(0,1)$，不独立但 $\rho=0$）

— End —