分布深入 · 三大分布 · 随机变量函数变换 · 数字特征 | 进阶篇
$F(x)$ 是概率累积到 $x$ 的总量。想象从左端 $-\infty$ 向右推进一条竖线，竖线扫过的 $f(t)$ 面积就是 $F(x)$。 因为 $f(x) \ge 0$，$F(x)$ 只能上升不能下降——这直接解释了下面的"单调不减"。
$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$$
从最左段开始，逐段累积。每进入新的一段，前一段的终点值作为新积分的起点。最后检验 $F(+\infty)=1$。
$$f(x) = F'(x)$$
在 $F(x)$ 的可导点处直接求导。分段点处 $f(x)$ 可以是任意非负值（单点不影响积分），通常写为 0 或按左右极限定义。
| 所求概率 | $F(x)$ 表示 | 记忆 |
|---|---|---|
| $P\{X \le a\}$ | $F(a)$ | 直接按定义 |
| $P\{X < a\}$ | $F(a)$ （连续型，端点无影响） | $=F(a-0)=F(a)$ |
| $P\{X > a\}$ | $1 - F(a)$ | 补事件 |
| $P\{X \ge a\}$ | $1 - F(a)$ | 同上 |
| $P\{a < X \le b\}$ | $F(b) - F(a)$ | 核心公式 |
| $P\{|X| < a\}$（$a>0$） | $F(a) - F(-a)$ | 化成 $-a<X<a$ |
密度函数：$\displaystyle f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
分布函数：$\displaystyle F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a \le x \le b \\ 1, & x > b \end{cases}$
期望：$EX = \dfrac{a+b}{2}$（区间中点）
方差：$DX = \dfrac{(b-a)^2}{12}$
密度函数：$\displaystyle f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$，其中 $\lambda > 0$
分布函数：$\displaystyle F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$
期望：$EX = \dfrac{1}{\lambda}$
方差：$DX = \dfrac{1}{\lambda^2}$
即：已知已经等待了 $s$ 时间，还需要再等 $t$ 时间的概率，等于从头开始等 $t$ 时间的概率——系统"忘记"了已经等过多久。
若事件的发生次数服从泊松过程（参数 $\lambda$），则相邻两次事件之间的等待时间服从指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$。这是指数分布在排队论和可靠性理论中广泛应用的根源。
密度函数：$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < +\infty$
期望：$EX = \mu$
方差：$DX = \sigma^2$
从而 $P\{X \le x\} = P\!\left\{Z \le \dfrac{x-\mu}{\sigma}\right\} = \Phi\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$
$$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$$
标准正态密度关于 0 对称，此式用于把负值转化为正数查表。
$\Phi(0)=0.5$，$\Phi(1.645)\approx 0.95$
$\Phi(1.96)\approx 0.975$，$\Phi(2.576)\approx 0.995$
| 区间 | 概率 | 含义 |
|---|---|---|
| $(\mu-\sigma,\;\mu+\sigma)$ | ≈ 68.27% | 约 $\frac{2}{3}$ |
| $(\mu-2\sigma,\;\mu+2\sigma)$ | ≈ 95.45% | 约 95% |
| $(\mu-3\sigma,\;\mu+3\sigma)$ | ≈ 99.73% | 几乎必然 |
实用含义：正态变量取值几乎一定在均值 ±3σ 范围内。超出 3σ 视为异常值，这是质量控制中"3σ 控制图"的理论基础。
问题：已知 $X$ 的密度 $f_X(x)$，求 $Y = g(X)$ 的密度 $f_Y(y)$。两种方法，各有适用场景。
条件：$y = g(x)$ 严格单调，其反函数 $x = h(y)$ 可导。
适用范围窄但效率高——题目一旦满足单调条件，套公式一步到位。
条件：无限制（$g$ 不单调也能用）。
两步走：先求 $F_Y(y)$（对 $X$ 的概率做不等式变换），再求导得 $f_Y(y)$。适用一切情形。
公式 $f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$ 的使用步骤：
分析：$g(x)=x^2$ 在 $(0,2)$ 上严格单调递增，适用公式法。
$f_X(x) = \dfrac{1}{2}$，$0 < x < 2$。
$y = x^2 \;\Rightarrow\; x = \sqrt{y} = h(y)$，$h'(y) = \dfrac{1}{2\sqrt{y}}$。
$X \in (0,2) \;\Rightarrow\; Y \in (0,4)$。
$$f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot |h'(y)| = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{4\sqrt{y}}, \quad 0 < y < 4$$
$$\therefore \; f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{4\sqrt{y}}, & 0 < y < 4 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
分析：$g(x)=\sqrt{x}$ 在 $x>0$ 上严格单调递增，公式法或分布函数法均可。
$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，$x \ge 0$。$Z=\sqrt{X} \ge 0$。
对 $z \ge 0$：
$$\begin{aligned} F_Z(z) &= P\{Z \le z\} = P\{\sqrt{X} \le z\} = P\{X \le z^2\} \\ &= F_X(z^2) = 1 - e^{-\lambda z^2} \end{aligned}$$
求导：$$f_Z(z) = F'_Z(z) = 2\lambda z\,e^{-\lambda z^2}, \quad z \ge 0$$
$$\therefore \; f_Z(z) = \begin{cases} 2\lambda z\,e^{-\lambda z^2}, & z \ge 0 \\ 0, & z < 0 \end{cases}$$
分析：线性变换 $Y=aX$，是最简单的单调变换（$a=2>0$）。
Cauchy 分布：$\displaystyle f_X(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$，$-\infty < x < +\infty$。
$y = 2x \;\Rightarrow\; x = \dfrac{y}{2} = h(y)$，$h'(y) = \dfrac{1}{2}$。
$$f_Y(y) = f_X\!\left(\frac{y}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\pi(1 + y^2/4)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{\pi(4 + y^2)}$$
提示：考试中如果不确定 $g(x)$ 是否单调，直接用分布函数法，永远不会错。
$$EX = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,\mathrm{d}x$$
$$DX = E(X^2) - (EX)^2$$
其中 $E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\,\mathrm{d}x$
若 $f(x)$ 为偶函数（$f(-x)=f(x)$），积分区间关于原点对称 $[-A, A]$（$A$ 可为 $+\infty$），则：
$$\int_{-A}^{A} (\text{奇函数}) \cdot f(x)\,\mathrm{d}x = 0$$
特别地：若 $f(x)$ 是偶函数，则 $EX = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,\mathrm{d}x = 0$。
实战价值：Laplace 分布 $f(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}$、Cauchy 分布 $f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}$、正态分布 $N(0,\sigma^2)$—— 这些偶密度函数的 $EX$ 直接判 0，无需动笔计算积分！
$f(x)$ 是偶函数，$x f(x)$ 是奇函数：
$$EX = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{2}e^{-|x|}\,\mathrm{d}x = 0$$
$x^2 f(x)$ 是偶函数，利用对称性：
$$\begin{aligned} E(X^2) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{-|x|}\,\mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{-x}\,\mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-x}\,\mathrm{d}x = \Gamma(3) = 2! = 2 \end{aligned}$$
$$DX = E(X^2) - (EX)^2 = 2 - 0^2 = 2$$
【题目】设某电子元件的寿命 $X$（单位：千小时）服从参数 $\lambda=1$ 的指数分布。
（1）写出 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 和分布函数 $F(x)$；
（2）任取 5 个该元件，求至少有一个寿命超过 1 千小时的概率（二项分布）；
（3）令 $Z = \sqrt{X}$，求 $Z$ 的概率密度 $f_Z(z)$。
$\lambda = 1$：
$$f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \qquad F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$
先求单个元件寿命超过 1 的概率：
$$p = P\{X > 1\} = 1 - F(1) = e^{-1}$$
设 $Y$ = 「5 个中寿命超过 1 的个数」，则 $Y \sim B(5, e^{-1})$。
$$P\{Y \ge 1\} = 1 - P\{Y = 0\} = 1 - \big(1 - e^{-1}\big)^5$$
注：也可用指数分布的无记忆性直接推得。
【题目】设连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为
$$f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|}, \quad -\infty < x < +\infty$$
（1）求 $EX$ 和 $DX$；（2）求分布函数 $F(x)$；（3）求 $P\{0 < X < 1\}$。
$EX = 0$（偶密度，奇函数积分为 0）；$DX = E(X^2) - 0^2$。
$$E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{-|x|}\,\mathrm{d}x = \int_0^\infty x^2 e^{-x}\,\mathrm{d}x = \Gamma(3) = 2$$
$$\therefore \; EX = 0,\quad DX = 2$$
分段积分（详见基础篇 §1.2 或 题型A）：
$$F(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}e^{x}, & x < 0 \\[8pt] 1 - \dfrac{1}{2}e^{-x}, & x \ge 0 \end{cases}$$
$$P\{0 < X < 1\} = F(1) - F(0) = \left(1 - \frac{1}{2e}\right) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{e}\right)$$
或直接积分：$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{2}e^{-x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}(1 - e^{-1})$。
考试中快速查阅参数、密度、期望、方差。建议背熟前三行（均匀/指数/正态），后三行理解即可。
| 分布 | 参数 | 密度 $f(x)$ | $EX$ | $DX$ | 特征 |
|---|---|---|---|---|---|
| 均匀 $U(a,b)$ |
$a<b$ | $\dfrac{1}{b-a},\; x\in[a,b]$ | $\dfrac{a+b}{2}$ | $\dfrac{(b-a)^2}{12}$ | 等可能，$F$为线性 |
| 指数 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ |
$\lambda>0$ | $\lambda e^{-\lambda x},\; x\ge 0$ | $\dfrac{1}{\lambda}$ | $\dfrac{1}{\lambda^2}$ | 无记忆性 |
| 正态 $N(\mu,\sigma^2)$ |
$\mu\in\mathbb{R}$ $\sigma>0$ |
$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ | $\mu$ | $\sigma^2$ | 标准化 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ |
| Laplace （双边指数） |
$\mu\in\mathbb{R}$ $b>0$ |
$\dfrac{1}{2b}e^{-\frac{|x-\mu|}{b}}$ | $\mu$ | $2b^2$ | 对称偶密度 标准形 $EX=0, DX=2$ |
| Cauchy | $\lambda>0$ | $\dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{\lambda}{\lambda^2+(x-\mu)^2}$ | 不存在 | 不存在 | 期望、方差均不存在 （积分发散） |
| Gamma $\Gamma(\alpha,\beta)$ |
$\alpha>0$ $\beta>0$ |
$\dfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},\; x\ge 0$ | $\dfrac{\alpha}{\beta}$ | $\dfrac{\alpha}{\beta^2}$ | $\alpha=1$ 时为指数分布 $\Gamma$函数：$\Gamma(n)=(n-1)!$ |
$f(x) = F'(x)$
在可导点处求导
$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$
逐段累积积分
$f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$
$h=g^{-1}$，反函数求导
$F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}$
再求导得 $f_Y(y)$
$Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$
$f$ 偶 $\Rightarrow$ $EX=0$
奇函数对称积分为 0
$\int_0^\infty x^{n}e^{-x}\,\mathrm{d}x = n!$
$\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-\beta x} = \Gamma(\alpha)/\beta^{\alpha}$
$P(X>s+t\mid X>s) = P(X>t)$
指数分布独有的性质
$Y=aX+b \;\Rightarrow\; f_Y(y)=\frac{1}{|a|}f_X\!\left(\frac{y-b}{a}\right)$
$a\neq 0$